Номер 232, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

232. У трапеции ABCD (рис. 210) $\angle A = 90^\circ$, $AD = 14,5 \text{ см}$, $BC = 7,5 \text{ см}$ и $\angle C = 135^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Рис. 210

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота. В данной трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$, их длины по условию равны $AD = 14,5$ см и $BC = 7,5$ см.

Для вычисления площади необходимо найти высоту трапеции. Так как $\angle A = 90^\circ$, трапеция является прямоугольной, и ее боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, следовательно, $AB$ является высотой трапеции.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Поскольку $BC$ параллельно $AD$ и $CH$ перпендикулярно $AD$, то четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что:

• Высота трапеции $h = AB = CH$.
• Длина отрезка $AH$ равна длине основания $BC$: $AH = BC = 7,5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $HD$ на основании $AD$. Она равна разности длин $AD$ и $AH$:

$HD = AD - AH = 14,5 - 7,5 = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $CHD$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота и $\angle CHD = 90^\circ$. Найдем величину угла $\angle HCD$. Так как $CH$ — высота, проведенная к основанию $AD$, и $BC \parallel AD$, то $CH$ также перпендикулярна и $BC$. Следовательно, $\angle BCH = 90^\circ$. Угол $\angle BCD$ по условию равен $135^\circ$. Тогда:

$\angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CHD$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle CDH$ (или $\angle D$):

$\angle CDH = 90^\circ - \angle HCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $CHD$ два угла равны ($\angle HCD = \angle CDH = 45^\circ$), он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $CH = HD$.

Так как мы уже вычислили, что $HD = 7$ см, то и высота трапеции $h = CH = 7$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{14,5 + 7,5}{2} \cdot 7$

$S = \frac{22}{2} \cdot 7 = 11 \cdot 7 = 77$ см².

Ответ: 77 см².