Номер 234, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

234. Дана трапеция $ABCD$, $MN$ — её средняя линия (рис. 212). Сумма площадей треугольников $AMK$ и $CKN$ равна $32 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Рис. 212

Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. $MN$ — ее средняя линия, следовательно, $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. По условию задачи, сумма площадей треугольников $AMK$ и $CKN$ равна 32 см$^2$.

$S_{AMK} + S_{CKN} = 32 \text{ см}^2$

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$ и $MN \parallel BC$ (по свойству средней линии трапеции), то отрезок $MK$ также параллелен $BC$. По теореме Фалеса, отрезок, проходящий через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в ее середине. Таким образом, точка $K$ является серединой диагонали $AC$.

Из этого следует, что $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, а $KN$ — средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии треугольника: $MK = \frac{1}{2}BC$ $KN = \frac{1}{2}AD$

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Средняя линия $MN$ делит высоту трапеции пополам. То есть, расстояние от прямой $AD$ до прямой $MN$ равно $\frac{h}{2}$, и расстояние от прямой $BC$ до прямой $MN$ также равно $\frac{h}{2}$.

Высота треугольника $AMK$, проведенная из вершины $A$ к основанию $MK$ (лежащему на прямой $MN$), равна расстоянию от точки $A$ до прямой $MN$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AD$, эта высота равна $\frac{h}{2}$. Площадь треугольника $AMK$: $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4}MK \cdot h$ Подставив $MK = \frac{1}{2}BC$, получаем: $S_{AMK} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot h = \frac{1}{8}BC \cdot h$

Аналогично, высота треугольника $CKN$, проведенная из вершины $C$ к основанию $KN$, равна расстоянию от точки $C$ до прямой $MN$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой $BC$, эта высота также равна $\frac{h}{2}$. Площадь треугольника $CKN$: $S_{CKN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4}KN \cdot h$ Подставив $KN = \frac{1}{2}AD$, получаем: $S_{CKN} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot h = \frac{1}{8}AD \cdot h$

Теперь используем данную в условии сумму площадей: $S_{AMK} + S_{CKN} = 32$ $\frac{1}{8}BC \cdot h + \frac{1}{8}AD \cdot h = 32$ $\frac{1}{8}h(BC + AD) = 32$ $h(BC + AD) = 32 \cdot 8 = 256$

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$ Это можно записать как $S_{ABCD} = \frac{1}{2} h(BC + AD)$. Подставим найденное значение $h(BC + AD)$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 256 = 128 \text{ см}^2$

Ответ: 128 см$^2$.