Номер 229, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

229. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой:

а) основания равны 32 см и 18 см, меньшая боковая сторона — 14 см;

б) основания равны 2 см и 6 см, большая боковая сторона — 5 см.

а)

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является её высотой. Другая боковая сторона — наклонная. Так как перпендикуляр (высота) всегда короче наклонной, то меньшая боковая сторона и есть высота трапеции.

Дано:

• Большее основание $a = 32$ см.
• Меньшее основание $b = 18$ см.
• Меньшая боковая сторона (высота) $h = 14$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $$ Подставим данные значения в формулу: $$ S = \frac{32 + 18}{2} \cdot 14 $$ $$ S = \frac{50}{2} \cdot 14 $$ $$ S = 25 \cdot 14 = 350 \text{ см}^2 $$

Ответ: $350 \text{ см}^2$.

б)

В этом случае дана большая боковая сторона, которая является наклонной. Для нахождения площади нам нужно сначала вычислить высоту трапеции.

Дано:

• Большее основание $a = 6$ см.
• Меньшее основание $b = 2$ см.
• Большая боковая сторона $c = 5$ см.

Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это большая боковая сторона $c = 5$ см;
• один катет — это высота трапеции $h$;
• второй катет равен разности оснований $a - b$.

Найдем длину второго катета: $$ a - b = 6 - 2 = 4 \text{ см} $$

По теореме Пифагора найдем высоту $h$: $$ c^2 = h^2 + (a-b)^2 $$ $$ 5^2 = h^2 + 4^2 $$ $$ 25 = h^2 + 16 $$ $$ h^2 = 25 - 16 $$ $$ h^2 = 9 $$ $$ h = \sqrt{9} = 3 \text{ см} $$

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции: $$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $$ $$ S = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 $$ $$ S = \frac{8}{2} \cdot 3 $$ $$ S = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}^2 $$

Ответ: $12 \text{ см}^2$.