Номер 239, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

239. а) Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости (рис. 214).

б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, где $A(1; 0)$, $B(1; 6)$, $C(5; 8)$, $D(10; 5)$.

Рис. 214

а) Для нахождения площади трапеции, изображенной на рисунке, воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.
Из рисунка определим координаты вершин трапеции: (-2; 2), (7; 2), (6; 8) и (1; 8).
Основания трапеции параллельны оси Ox.
Длина верхнего основания (при $y=8$) равна разности x-координат его концов: $a = 6 - 1 = 5$.
Длина нижнего основания (при $y=2$) равна разности x-координат его концов: $b = 7 - (-2) = 7 + 2 = 9$.
Высота трапеции – это перпендикулярное расстояние между основаниями, которое равно разности их y-координат: $h = 8 - 2 = 6$.
Теперь подставим найденные значения в формулу площади:
$S = \frac{5+9}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42$ (кв. ед.).
Ответ: 42.

б) Для нахождения площади четырехугольника ABCD с вершинами A(1; 0), B(1; 6), C(5; 8), D(10; 5) можно использовать метод декомпозиции. Мы можем представить площадь четырехугольника как сумму или разность площадей более простых фигур (трапеций и треугольников), которые образуются при опускании перпендикуляров из вершин на ось Ox.
Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить как сумму площадей трапеций, образованных сторонами BC и CD и их проекциями на ось Ox, минус площадь фигуры, образованной стороной AD и ее проекцией на ось Ox.
1. Найдем площадь трапеции, ограниченной отрезком BC, осью Ox и перпендикулярами, опущенными из точек B и C на ось Ox. Вершины этой трапеции: (1; 6), (5; 8), (5; 0), (1; 0). Основания параллельны оси Oy и равны 6 и 8. Высота равна $5 - 1 = 4$.
Площадь $S_1 = \frac{6+8}{2} \cdot (5-1) = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$.
2. Найдем площадь трапеции, ограниченной отрезком CD, осью Ox и перпендикулярами из точек C и D. Вершины этой трапеции: (5; 8), (10; 5), (10; 0), (5; 0). Основания равны 8 и 5. Высота равна $10 - 5 = 5$.
Площадь $S_2 = \frac{8+5}{2} \cdot (10-5) = \frac{13}{2} \cdot 5 = 6.5 \cdot 5 = 32.5$.
3. Найдем площадь фигуры, ограниченной отрезком AD, осью Ox и перпендикулярами из точек A и D. Вершины этой фигуры: (1; 0), (10; 5), (10; 0). Это прямоугольный треугольник, так как вершина A лежит на оси Ox. Основание равно $10 - 1 = 9$, высота равна 5.
Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot (10-1) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5 = \frac{45}{2} = 22.5$.
4. Площадь четырехугольника ABCD равна $S_{ABCD} = S_1 + S_2 - S_3$.
$S_{ABCD} = 28 + 32.5 - 22.5 = 60.5 - 22.5 = 38$ (кв. ед.).
Ответ: 38.