Номер 245, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

245. Дан квадрат $ABCD$. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AD$ и $CD$ соответственно. Диагональ $AC$ пересекает отрезки $BM$ и $BK$ в точках $G$ и $F$ соответственно. Найдите, какую часть площади квадрата составляет площадь треугольника $GBF$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$.

Для нахождения площади треугольника $GBF$ мы определим положения точек $G$ и $F$ на диагонали $AC$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMG$ и $\triangle CBG$. Так как $ABCD$ — квадрат, то его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AD$, то $AM \parallel BC$. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы равны: $\angle MAC = \angle BCA$ (или $\angle G AM = \angle GCB$). Рассмотрим те же параллельные прямые и секущую $BM$. Накрест лежащие углы равны: $\angle AMB = \angle CBM$ (или $\angle AMG = \angle CBG$). Следовательно, треугольники $\triangle AMG$ и $\triangle CBG$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон $AM$ и $CB$. По условию, $M$ — середина стороны $AD$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}a$. Сторона квадрата $CB = a$. Коэффициент подобия $k_1 = \frac{AM}{CB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$. Отношение других соответственных сторон также равно $1/2$: $\frac{AG}{CG} = \frac{MG}{BG} = \frac{1}{2}$. Из соотношения $\frac{AG}{CG} = \frac{1}{2}$ получаем $CG = 2 \cdot AG$. Длина всей диагонали $AC = AG + CG = AG + 2 \cdot AG = 3 \cdot AG$. Отсюда $AG = \frac{1}{3}AC$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CKF$. Стороны $AB$ и $CD$ квадрата параллельны, $AB \parallel CD$. Так как $K$ лежит на $CD$, то $AB \parallel CK$. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы равны: $\angle BAC = \angle DCA$ (или $\angle BAF = \angle KCF$). Рассмотрим те же параллельные прямые и секущую $BK$. Накрест лежащие углы равны: $\angle ABK = \angle CKB$ (или $\angle ABF = \angle CKF$). Следовательно, треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CKF$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон $CK$ и $AB$. По условию, $K$ — середина стороны $CD$, поэтому $CK = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a$. Сторона квадрата $AB = a$. Коэффициент подобия $k_2 = \frac{CK}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$. Отношение других соответственных сторон также равно $1/2$: $\frac{CF}{AF} = \frac{KF}{BF} = \frac{1}{2}$. Из соотношения $\frac{CF}{AF} = \frac{1}{2}$ получаем $AF = 2 \cdot CF$. Длина всей диагонали $AC = AF + CF = 2 \cdot CF + CF = 3 \cdot CF$. Отсюда $CF = \frac{1}{3}AC$.

3. Теперь мы можем найти длину отрезка $GF$ на диагонали $AC$.$GF = AC - AG - CF = AC - \frac{1}{3}AC - \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3}AC$. Таким образом, точки $G$ и $F$ делят диагональ $AC$ на три равные части: $AG = GF = FC$.

4. Найдем площадь треугольника $GBF$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABG$, $\triangle GBF$ и $\triangle FBC$. Все они имеют общую вершину $B$, а их основания $AG$, $GF$ и $FC$ лежат на одной прямой $AC$. Площади треугольников с общей высотой относятся как длины их оснований. Поскольку $AG = GF = FC$, то их площади равны: $S_{\triangle ABG} = S_{\triangle GBF} = S_{\triangle FBC}$. Сумма площадей этих трех треугольников равна площади треугольника $ABC$:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABG} + S_{\triangle GBF} + S_{\triangle FBC} = 3 \cdot S_{\triangle GBF}$. Отсюда следует, что $S_{\triangle GBF} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$.

5. Наконец, свяжем площадь $\triangle GBF$ с площадью квадрата $ABCD$. Диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных прямоугольных треугольника, $ABC$ и $ADC$. Площадь треугольника $ABC$ равна половине площади квадрата: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$. Подставим это в наше выражение для площади $\triangle GBF$:$S_{\triangle GBF} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}S_{ABCD}\right) = \frac{1}{6}S_{ABCD}$. Таким образом, площадь треугольника $GBF$ составляет $\frac{1}{6}$ от площади квадрата.

Ответ: Площадь треугольника $GBF$ составляет $\frac{1}{6}$ площади квадрата.