Номер 244, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

244. Найдите площадь параллелограмма ABCD (рис. 220), если сумма площадей треугольников AOB и COD равна $24 \text{ см}^2$.

Рис. 220

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Известно, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника, то есть на четыре треугольника с равными площадями. Таким образом, площади треугольников $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ равны между собой:

$S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{DOA}$.

По условию задачи сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна 24 см²:

$S_{AOB} + S_{COD} = 24 \text{ см}^2$.

Так как $S_{AOB} = S_{COD}$, мы можем подставить $S_{AOB}$ вместо $S_{COD}$ в этом равенстве:

$S_{AOB} + S_{AOB} = 24 \text{ см}^2$

$2 \cdot S_{AOB} = 24 \text{ см}^2$.

Отсюда находим площадь одного треугольника $AOB$:

$S_{AOB} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}^2$.

Площадь всего параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей четырех составляющих его треугольников. Поскольку площади всех четырех треугольников равны, то площадь параллелограмма в 4 раза больше площади одного из них:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AOB} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2$.

Можно также рассуждать иначе. Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна сумме площадей всех четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$. Сгруппируем слагаемые:

$S_{ABCD} = (S_{AOB} + S_{COD}) + (S_{BOC} + S_{DOA})$.

Мы знаем, что $S_{AOB} + S_{COD} = 24 \text{ см}^2$. Так как $S_{AOB} = S_{BOC}$ и $S_{COD} = S_{DOA}$, то и сумма $S_{BOC} + S_{DOA}$ также равна 24 см². Тогда общая площадь равна:

$S_{ABCD} = 24 \text{ см}^2 + 24 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: 48 см$^2$.