Номер 246, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

246. На рисунке 221 точки $M, N, K$ и $P$ — середины сторон прямоугольника $ABCD$. Найдите, сколько процентов составляет площадь $S_1$ треугольника $PEK$ от площади $S$ прямоугольника $ABCD$.

Рис. 221

Для решения задачи введем обозначения: пусть ширина прямоугольника $ABCD$ равна $w$, а высота — $h$. Тогда площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = wh$.

Согласно условию, точки $M, N, K$ и $P$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ соответственно. Фигура, образованная последовательным соединением середин сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Для прямоугольника этот параллелограмм является ромбом, так как диагонали прямоугольника равны. Таким образом, $MNKP$ — это ромб.

Площадь прямоугольника $S$ можно представить как сумму площади ромба $S_{MNKP}$ и площадей четырех прямоугольных треугольников по углам: $\triangle APM, \triangle BMN, \triangle CNK$ и $\triangle DKP$.

Найдем площади этих треугольников. Так как точки $M, N, K, P$ — середины сторон, то катеты этих треугольников равны половинам сторон прямоугольника: $AM = MB = h/2$, $BN = NC = w/2$, $CK = KD = h/2$, $AP = PD = w/2$.

Площадь каждого из четырех угловых треугольников одинакова и равна:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{w}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{wh}{8}$

Суммарная площадь этих четырех треугольников составляет:

$4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{wh}{8} = \frac{wh}{2} = \frac{S}{2}$

Следовательно, площадь ромба $MNKP$ равна разности площади прямоугольника и суммарной площади угловых треугольников:

$S_{MNKP} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2} = \frac{wh}{2}$

Далее, определим положение точки $E$. На рисунке точка $E$ показана как пересечение отрезков, проходящих через $M, P$ и $N, K$. Если построить эти отрезки ($MP$ и $NK$) для указанной конфигурации, то они окажутся параллельными и не будут пересекаться. Это означает, что в условии задачи или на рисунке есть неточность. Наиболее логичным предположением является то, что точка $E$ — это центр ромба $MNKP$ (и, соответственно, центр прямоугольника $ABCD$), то есть точка пересечения его диагоналей $MK$ и $NP$.

При таком предположении, диагонали ромба $MNKP$ делят его на четыре равных по площади треугольника. Треугольник $PEK$ является одним из этих треугольников. Значит, его площадь $S_1$ составляет одну четвертую от площади ромба $S_{MNKP}$.

$S_1 = S_{PEK} = \frac{1}{4} S_{MNKP} = \frac{1}{4} \cdot \frac{wh}{2} = \frac{wh}{8}$

Теперь найдем, сколько процентов составляет площадь $S_1$ от площади прямоугольника $S$. Для этого вычислим их отношение:

$\frac{S_1}{S} = \frac{wh/8}{wh} = \frac{1}{8}$

Переведем это отношение в проценты:

$\frac{1}{8} \times 100\% = 12.5\%$

Ответ: 12.5%.