Номер 251, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

251. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Известно, что $S_{BOC} = S_1$, $S_{AOD} = S_2$. Выразите площадь трапеции через $S_1$ и $S_2$.

Площадь трапеции $ABCD$ складывается из площадей четырех треугольников, образованных пересечением ее диагоналей в точке $O$:

$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO}$

По условию задачи, $S_{BOC} = S_1$ и $S_{AOD} = S_2$. Необходимо найти площади треугольников $S_{ABO}$ и $S_{CDO}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию (так как $BC \parallel AD$). Следовательно, их площади равны:

$S_{ABD} = S_{ACD}$

Площадь $\triangle ABD$ можно выразить как сумму площадей $S_{ABO} + S_{AOD}$. Аналогично, $S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.

Приравнивая выражения для площадей, получаем:

$S_{ABO} + S_{AOD} = S_{CDO} + S_{AOD}$

Отсюда следует, что площади боковых треугольников равны:

$S_{ABO} = S_{CDO}$

Обозначим эту площадь как $S_x$. Тогда искомая площадь трапеции равна $S_{ABCD} = S_1 + S_2 + 2S_x$.

Теперь найдем выражение для $S_x$ через $S_1$ и $S_2$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам: $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, и $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон:

$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{S_1}{S_2} = k^2$

Отсюда $k = \frac{CO}{AO} = \frac{BO}{DO} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle BOC$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{CO}$

Мы знаем, что $\frac{CO}{AO} = k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$, значит $\frac{AO}{CO} = \frac{1}{k} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$.

Подставим известные значения:

$\frac{S_x}{S_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$

Выразим $S_x$:

$S_x = S_1 \cdot \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{S_1^2 \cdot \frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{S_1 S_2}$

Итак, $S_{ABO} = S_{CDO} = \sqrt{S_1 S_2}$.

Теперь мы можем вычислить площадь всей трапеции:

$S_{ABCD} = S_1 + S_2 + 2S_x = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}$

Это выражение является формулой полного квадрата суммы:

$S_1 + 2\sqrt{S_1 S_2} + S_2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$

Ответ: $S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.