Номер 258, страница 113 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

258. Дан равнобедренный треугольник $ABC$. На его основании $AC$ взята точка $M$. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на боковые стороны треугольника, есть величина постоянная для данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $M$ — произвольная точка, взятая на основании $AC$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры на боковые стороны: $MP$ на сторону $AB$ (точка $P$ лежит на $AB$) и $MQ$ на сторону $BC$ (точка $Q$ лежит на $BC$). Требуется доказать, что сумма длин этих перпендикуляров, то есть величина $MP + MQ$, является постоянной для данного треугольника и не зависит от выбора точки $M$ на отрезке $AC$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $M$ с вершиной $B$, противолежащей основанию. Отрезок $BM$ разделяет треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $$S_{ABC} = S_{ABM} + S_{CBM}$$

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина стороны, а $h$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

• В треугольнике $ABM$ отрезок $MP$ по построению является высотой, опущенной на сторону $AB$. Следовательно, его площадь равна: $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MP$.
• Аналогично, в треугольнике $CBM$ отрезок $MQ$ является высотой, опущенной на сторону $BC$. Его площадь равна: $S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MQ$.

Подставим эти выражения в формулу для площади треугольника $ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MP + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MQ$$

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, поэтому его боковые стороны равны: $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $b$. Тогда равенство можно переписать в виде: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot MP + \frac{1}{2} \cdot b \cdot MQ$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}b$ за скобки: $$S_{ABC} = \frac{1}{2}b (MP + MQ)$$

Из этого уравнения выразим искомую сумму длин перпендикуляров $MP + MQ$: $$MP + MQ = \frac{2 S_{ABC}}{b}$$

Теперь проанализируем правую часть полученного выражения. Для конкретного, заданного треугольника $ABC$, его площадь $S_{ABC}$ является постоянной величиной (константой). Длина его боковой стороны $b$ также является постоянной величиной. Следовательно, отношение $\frac{2 S_{ABC}}{b}$ — это постоянная величина, которая не зависит от положения точки $M$ на основании $AC$.

Таким образом, доказано, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из любой точки на основании равнобедренного треугольника на его боковые стороны, есть величина постоянная.

Более того, можно точно определить значение этой постоянной. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Площадь треугольника $ABC$ можно также выразить через эту высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AH$. Подставим это выражение для площади в нашу итоговую формулу: $$MP + MQ = \frac{2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot AH)}{b} = \frac{b \cdot AH}{b} = AH$$ Это означает, что сумма длин перпендикуляров равна длине высоты, проведенной из вершины при основании к боковой стороне.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма длин перпендикуляров, опущенных из произвольной точки на основании равнобедренного треугольника на его боковые стороны, является постоянной величиной, равной высоте этого треугольника, проведенной из вершины при основании к боковой стороне.