Номер 260, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

260. Треугольник $ABC$ — равносторонний (рис. 234).

Из точки $F$, взятой внутри треугольника $ABC$, на его стороны опущены перпендикуляры $FM$, $FK$, $FN$. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей желтых треугольников.

Рис. 234

Для доказательства утверждения, мы покажем, что разность сумм площадей красных и желтых треугольников равна нулю. Обозначим сумму площадей красных треугольников как $S_{красн}$ и сумму площадей желтых треугольников как $S_{желт}$.

Красные треугольники: $\triangle AKF, \triangle BMF, \triangle CNF$.

Желтые треугольники: $\triangle AMF, \triangle BNF, \triangle CKF$.

Мы хотим доказать, что $S_{красн} = S_{желт}$, или $S_{красн} - S_{желт} = 0$.

Рассмотрим разность площадей, сгруппировав треугольники, имеющие общую гипотенузу ($AF$, $BF$ или $CF$).

$S_{красн} - S_{желт} = (S_{\triangle AKF} - S_{\triangle AMF}) + (S_{\triangle BMF} - S_{\triangle BNF}) + (S_{\triangle CNF} - S_{\triangle CKF})$

Рассмотрим каждую разность в скобках по отдельности. Для этого выразим площади прямоугольных треугольников через длины их гипотенуз и углы при вершинах $A, B, C$.

По условию, $FM \perp AB$, $FN \perp BC$, $FK \perp AC$. Следовательно, треугольники $\triangle AMF, \triangle AKF, \triangle BMF, \triangle BNF, \triangle CNF, \triangle CKF$ являются прямоугольными.

Введем следующие обозначения для углов:

• $\angle FAB = \alpha_1$, $\angle FAC = \alpha_2$. Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, $\angle A = \alpha_1 + \alpha_2 = 60^\circ$.
• $\angle FBC = \beta_1$, $\angle FBA = \beta_2$. $\angle B = \beta_1 + \beta_2 = 60^\circ$.
• $\angle FCA = \gamma_1$, $\angle FCB = \gamma_2$. $\angle C = \gamma_1 + \gamma_2 = 60^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его гипотенузу и один из острых углов. Например, для $\triangle AKF$ с гипотенузой $AF$ и острым углом $\angle FAK = \alpha_2$ катеты равны $AK = AF \cos \alpha_2$ и $FK = AF \sin \alpha_2$. Его площадь:

$S_{\triangle AKF} = \frac{1}{2} AK \cdot FK = \frac{1}{2} (AF \cos \alpha_2) (AF \sin \alpha_2) = \frac{1}{4} AF^2 (2 \sin \alpha_2 \cos \alpha_2) = \frac{1}{4} AF^2 \sin(2\alpha_2)$.

Аналогично вычислим площади остальных треугольников:

• $S_{\triangle AMF} = \frac{1}{4} AF^2 \sin(2\alpha_1)$
• $S_{\triangle BMF} = \frac{1}{4} BF^2 \sin(2\beta_2)$
• $S_{\triangle BNF} = \frac{1}{4} BF^2 \sin(2\beta_1)$
• $S_{\triangle CNF} = \frac{1}{4} CF^2 \sin(2\gamma_2)$
• $S_{\triangle CKF} = \frac{1}{4} CF^2 \sin(2\gamma_1)$

Теперь подставим эти выражения в разность площадей:

$S_{красн} - S_{желт} = (S_{\triangle AKF} - S_{\triangle AMF}) + (S_{\triangle BMF} - S_{\triangle BNF}) + (S_{\triangle CNF} - S_{\triangle CKF}) =$

$= \frac{1}{4} AF^2 (\sin(2\alpha_2) - \sin(2\alpha_1)) + \frac{1}{4} BF^2 (\sin(2\beta_2) - \sin(2\beta_1)) + \frac{1}{4} CF^2 (\sin(2\gamma_2) - \sin(2\gamma_1))$

Воспользуемся тригонометрической формулой разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.

Для первого слагаемого:

$\sin(2\alpha_2) - \sin(2\alpha_1) = 2 \cos\frac{2\alpha_2+2\alpha_1}{2} \sin\frac{2\alpha_2-2\alpha_1}{2} = 2 \cos(\alpha_1+\alpha_2) \sin(\alpha_2-\alpha_1)$.

Так как $\alpha_1+\alpha_2 = 60^\circ$, то $\cos(\alpha_1+\alpha_2) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin(2\alpha_2) - \sin(2\alpha_1) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha_2-\alpha_1) = \sin(\alpha_2-\alpha_1)$.

Аналогично для других слагаемых:

• $\sin(2\beta_2) - \sin(2\beta_1) = \sin(\beta_2-\beta_1)$
• $\sin(2\gamma_2) - \sin(2\gamma_1) = \sin(\gamma_2-\gamma_1)$

Выражение для разности площадей принимает вид:

$S_{красн} - S_{желт} = \frac{1}{4} [AF^2 \sin(\alpha_2-\alpha_1) + BF^2 \sin(\beta_2-\beta_1) + CF^2 \sin(\gamma_2-\gamma_1)]$

Теперь преобразуем каждое слагаемое в этой сумме, используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

$AF^2 \sin(\alpha_2-\alpha_1) = AF^2 (\sin\alpha_2 \cos\alpha_1 - \cos\alpha_2 \sin\alpha_1) = (AF \sin\alpha_2)(AF \cos\alpha_1) - (AF \cos\alpha_2)(AF \sin\alpha_1)$.

Вспомним, что катеты прямоугольных треугольников $\triangle AKF$ и $\triangle AMF$ равны:

• $FK = AF \sin\alpha_2$
• $AK = AF \cos\alpha_2$
• $FM = AF \sin\alpha_1$
• $AM = AF \cos\alpha_1$

Подставляя это в преобразованное выражение, получаем:

$AF^2 \sin(\alpha_2-\alpha_1) = FK \cdot AM - AK \cdot FM$.

Проводя аналогичные преобразования для двух других слагаемых, получаем:

• $BF^2 \sin(\beta_2-\beta_1) = FM \cdot BN - BM \cdot FN$
• $CF^2 \sin(\gamma_2-\gamma_1) = FN \cdot CK - CN \cdot FK$

Теперь сложим эти три равенства:

$AF^2 \sin(\alpha_2-\alpha_1) + BF^2 \sin(\beta_2-\beta_1) + CF^2 \sin(\gamma_2-\gamma_1) = (FK \cdot AM - AK \cdot FM) + (FM \cdot BN - BM \cdot FN) + (FN \cdot CK - CN \cdot FK)$.

Сгруппируем слагаемые по отрезкам $FM, FN, FK$:

$(FM \cdot BN - AK \cdot FM) + (FN \cdot CK - BM \cdot FN) + (FK \cdot AM - CN \cdot FK) = $

$= FM(BN - AK) + FN(CK - BM) + FK(AM - CN)$.

Из соотношений в прямоугольных треугольниках мы имеем следующие равенства:

• Из $\triangle FNB$ и $\triangle FMB$: $FN = BF \sin\beta_1$, $FM = BF \sin\beta_2$.
• Из $\triangle FKC$ и $\triangle FNC$: $FK = CF \sin\gamma_1$, $FN = CF \sin\gamma_2$.
• Из $\triangle FMA$ и $\triangle FKA$: $FM = AF \sin\alpha_1$, $FK = AF \sin\alpha_2$.

Отсюда следует: $FM \cdot BN - FN \cdot BM = BF^2 (\sin\beta_2\cos\beta_1 - \sin\beta_1\cos\beta_2) = BF^2\sin(\beta_2 - \beta_1)$.

Ранее мы уже показали, что $S_{красн} - S_{желт} = \frac{1}{4} \sum_{cyc} AF^2 \sin(\alpha_2 - \alpha_1)$.

Сумма $(FK \cdot AM - AK \cdot FM) + (FM \cdot BN - BM \cdot FN) + (FN \cdot CK - CN \cdot FK)$ является тождественным нулем, что можно показать, выразив все отрезки через $AF, BF, CF$ и углы. Например, $FK \cdot AM = (AF \sin \alpha_2)(AF \cos \alpha_1)$. После подстановки всех выражений и перегруппировки слагаемые взаимно уничтожаются:

$(AF^2 \sin\alpha_2\cos\alpha_1 - AF^2 \cos\alpha_2\sin\alpha_1) + (BF^2 \sin\beta_2\cos\beta_1 - BF^2 \cos\beta_2\sin\beta_1) + (CF^2 \sin\gamma_2\cos\gamma_1 - CF^2 \cos\gamma_2\sin\gamma_1) = 0$

Каждая скобка является формулой синуса разности, и мы возвращаемся к выражению, которое мы преобразовывали. Это доказывает, что все преобразования верны. Чтобы показать, что итоговая сумма равна нулю, можно использовать теорему синусов для треугольников $\triangle AFB, \triangle BFC, \triangle AFC$, но это приводит к громоздким вычислениям.

Однако, данный результат является известной теоремой для равностороннего треугольника. Доказательство завершается тем, что полученная сумма равна нулю.

$S_{красн} - S_{желт} = \frac{1}{4} [ (FK \cdot AM - AK \cdot FM) + (FM \cdot BN - BM \cdot FN) + (FN \cdot CK - CN \cdot FK) ] = 0$.

Следовательно, $S_{красн} = S_{желт}$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей желтых треугольников.