Номер 254, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

254. ABCD – трапеция $(AD \parallel BC)$, M – середина стороны AB, N – середина стороны CD, $S_{MBC} = S_1$, $S_{AND} = S_2$, $S_{AMCN} = S_3$. Докажите, что $S_3 = S_1 + S_2$.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим площади треугольников, на которые можно разбить заданные фигуры.

Площадь четырехугольника $AMCN$, равная $S_3$, может быть представлена как сумма площадей двух треугольников, на которые его разделяет диагональ $AC$: $S_3 = S_{AMCN} = S_{\triangle AMC} + S_{\triangle ANC}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, отрезок $CM$ является медианой треугольника $\triangle ABC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Таким образом, площадь треугольника $\triangle AMC$ равна площади треугольника $\triangle MBC$.

$S_{\triangle AMC} = S_{\triangle MBC}$

По условию задачи, $S_{MBC} = S_1$. Следовательно, $S_{\triangle AMC} = S_1$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. По условию, точка $N$ является серединой стороны $CD$. Следовательно, отрезок $AN$ является медианой треугольника $\triangle ADC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Таким образом, площадь треугольника $\triangle ANC$ равна площади треугольника $\triangle AND$.

$S_{\triangle ANC} = S_{\triangle AND}$

По условию задачи, $S_{AND} = S_2$. Следовательно, $S_{\triangle ANC} = S_2$.

Теперь подставим полученные выражения для площадей $S_{\triangle AMC}$ и $S_{\triangle ANC}$ в формулу для площади $S_3$: $S_3 = S_{\triangle AMC} + S_{\triangle ANC} = S_1 + S_2$.

Таким образом, мы доказали, что $S_3 = S_1 + S_2$.

Ответ: Равенство $S_3 = S_1 + S_2$ доказано.