Гимнастика ума, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Существует ли треугольник, все три высоты которого меньше 1 см, а площадь больше площади Беларуси, которая составляет 207 595 $км^2$?

A, B, C, Витебск, Минск, Могилев, Гродно, Брест, Гомель

Да, такой треугольник существует. Приведем доказательство и способ построения такого треугольника.

Сначала переведем площадь Беларуси в квадратные сантиметры, чтобы работать в единой системе единиц. Площадь Беларуси $S_{Бел} = 207 595\text{ км}^2$. Поскольку $1\text{ км} = 1000\text{ м} = 100 000\text{ см} = 10^5\text{ см}$, то $1\text{ км}^2 = (10^5)^2\text{ см}^2 = 10^{10}\text{ см}^2$. Следовательно, $S_{Бел} = 207 595 \times 10^{10} \text{ см}^2 \approx 2.08 \times 10^{15} \text{ см}^2$. Нам нужно построить треугольник, площадь которого $S > S_{Бел}$, а все три высоты $h_a, h_b, h_c$ меньше $1 \text{ см}$.

Воспользуемся связью между площадью треугольника $S$, его сторонами $a,b,c$ и высотами $h_a, h_b, h_c$. Площадь треугольника выражается формулой $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$. Отсюда можно выразить стороны через площадь и высоты: $a = \frac{2S}{h_a}$, $b = \frac{2S}{h_b}$, $c = \frac{2S}{h_c}$.

Для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства треугольника: $a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$. Подставив выражения для сторон, получим условия для высот:$\frac{2S}{h_a} + \frac{2S}{h_b} > \frac{2S}{h_c} \implies \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} > \frac{1}{h_c}$Аналогично для двух других неравенств. Таким образом, величины, обратные высотам ($1/h_a, 1/h_b, 1/h_c$), должны удовлетворять неравенству треугольника.

Существует формула, связывающая площадь треугольника только с его высотами:$\frac{1}{S^2} = \left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\right)\left(\frac{1}{h_a}-\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\left(-\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)$Чтобы площадь $S$ была очень большой, выражение в правой части (обозначим его $K$) должно быть очень маленьким положительным числом: $S = 1/\sqrt{K}$.

Выражение $K$ станет очень маленьким, если "треугольник" со сторонами $x=1/h_a, y=1/h_b, z=1/h_c$ будет вырожденным, то есть когда одна из сторон будет почти равна сумме двух других, например, $z \approx x+y$.

Построим наш треугольник.

1. Выберем две высоты меньше $1\text{ см}$. Пусть $h_a = 0.5\text{ см}$ и $h_b = 0.5\text{ см}$. Обе высоты удовлетворяют условию.
2. Найдем их обратные величины: $x = 1/h_a = 2\text{ см}^{-1}$ и $y = 1/h_b = 2\text{ см}^{-1}$.
3. Теперь выберем третью высоту $h_c$ так, чтобы $z=1/h_c$ было очень близко к сумме $x+y$. $x+y = 2+2=4$. Пусть $z = 4 - \epsilon$, где $\epsilon$ — очень маленькое положительное число. Тогда $h_c = \frac{1}{z} = \frac{1}{4-\epsilon}$. Если выбрать $\epsilon$ достаточно малым (например, $\epsilon < 3$), то $h_c > 1/4 = 0.25\text{ см}$. Также $h_c$ будет меньше $1\text{ см}$ (для этого нужно $\epsilon > -1$, что выполняется). Например, при $\epsilon=0.1$, $h_c = 1/3.9 \approx 0.256\text{ см} < 1\text{ см}$. Таким образом, мы можем выбрать три высоты $h_a=0.5, h_b=0.5, h_c = 1/(4-\epsilon)$, которые все меньше $1\text{ см}$ и могут образовывать треугольник.
4. Теперь рассчитаем площадь такого треугольника. $K = (x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)$. Подставляем наши значения: $x=2, y=2, z=4-\epsilon$. $x+y-z = 2+2-(4-\epsilon) = \epsilon$. $K = (2+2+4-\epsilon)(2+2-(4-\epsilon))(2-(2)+4-\epsilon)(-2+2+4-\epsilon) = (8-\epsilon)(\epsilon)(4-\epsilon)(4-\epsilon) = \epsilon(8-\epsilon)(4-\epsilon)^2$. При очень малом $\epsilon$, $K \approx \epsilon(8)(4)^2 = 128\epsilon$. Площадь $S = \frac{1}{\sqrt{K}} \approx \frac{1}{\sqrt{128\epsilon}} = \frac{1}{8\sqrt{2\epsilon}}$.
5. Мы можем сделать площадь $S$ сколь угодно большой, выбирая $\epsilon$ сколь угодно малым. Нам нужно, чтобы $S > 2.08 \times 10^{15} \text{ см}^2$. $\frac{1}{8\sqrt{2\epsilon}} > 2.08 \times 10^{15}$ $\sqrt{2\epsilon} < \frac{1}{8 \times 2.08 \times 10^{15}}$ $2\epsilon < \left(\frac{1}{1.664 \times 10^{16}}\right)^2 \approx (6 \times 10^{-17})^2 = 36 \times 10^{-34}$ $\epsilon < 18 \times 10^{-34}$. Мы можем выбрать такое положительное число $\epsilon$, например, $\epsilon = 10^{-35}$.

Таким образом, мы показали, как можно построить треугольник с тремя высотами меньше $1\text{ см}$ ($h_a=0.5\text{ см}$, $h_b=0.5\text{ см}$, и $h_c = 1/(4-10^{-35})\text{ см} \approx 0.25\text{ см}$) и площадью, которая будет гарантированно больше площади Беларуси. Геометрически такой треугольник будет очень "плоским" — тупоугольным, с одним углом, близким к $180^\circ$.

Ответ: Да, существует.