Номер 259, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

259. Докажите методом площадей свойство биссектрисы треугольника: «Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам».

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрису $AL$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Нам необходимо доказать, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть что выполняется равенство: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.

Для доказательства используем метод площадей. Биссектриса $AL$ разделяет треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABL$ и $\triangle ACL$.

1. Выразим отношение площадей этих треугольников, используя формулу площади через основание и высоту. Треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle ACL$ имеют общую высоту $h_A$, проведенную из вершины $A$ к прямой $BC$. Их основаниями являются отрезки $BL$ и $LC$ соответственно.

Площадь треугольника $\triangle ABL$ равна $S_{ABL} = \frac{1}{2} \cdot BL \cdot h_A$.

Площадь треугольника $\triangle ACL$ равна $S_{ACL} = \frac{1}{2} \cdot LC \cdot h_A$.

Найдем отношение их площадей:

$\frac{S_{ABL}}{S_{ACL}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BL \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot LC \cdot h_A} = \frac{BL}{LC}$

2. Теперь выразим отношение площадей этих же треугольников, используя другую формулу площади: через произведение двух сторон и синус угла между ними.

Площадь треугольника $\triangle ABL$ равна $S_{ABL} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AL \cdot \sin(\angle BAL)$.

Площадь треугольника $\triangle ACL$ равна $S_{ACL} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AL \cdot \sin(\angle CAL)$.

По определению биссектрисы, $AL$ делит угол $BAC$ пополам, следовательно, $\angle BAL = \angle CAL$.

Найдем отношение площадей, используя это свойство:

$\frac{S_{ABL}}{S_{ACL}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AL \cdot \sin(\angle BAL)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AL \cdot \sin(\angle CAL)} = \frac{AB}{AC}$ (так как $AL$ и синусы равных углов сокращаются).

3. Мы получили два разных выражения для одного и того же отношения площадей $\frac{S_{ABL}}{S_{ACL}}$. Приравняем их:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Таким образом, свойство биссектрисы доказано. Биссектриса треугольника действительно делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказано. Для биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ выполняется соотношение $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.