Тест 1, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

По данным на рисунке найдите площадь треугольника $ABC$.

а) 20;

б) 24;

в) 40;

г) 36.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ используется формула $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это основание треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

В данной задаче в качестве основания мы используем сторону $AC$, а в качестве высоты – отрезок $BH$. Таким образом, формула для площади будет выглядеть так: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Из рисунка нам известны следующие данные: высота $BH = 4$ и длина отрезка $HC = 6$. Основание $AC$ состоит из суммы двух отрезков: $AC = AH + HC$. Для вычисления площади нам необходимо сначала найти длину отрезка $AH$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Так как $BH$ является высотой, опущенной на сторону $AC$, угол $\angle BHA$ прямой и равен $90°$. Следовательно, треугольник $ABH$ – прямоугольный. По условию, угол $\angle HBA = 45°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем величину третьего угла, $\angle BAH$:

$\angle BAH = 180° - \angle BHA - \angle HBA = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Поскольку в треугольнике $ABH$ два угла равны ($\angle BAH = \angle HBA = 45°$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Это значит, что $AH = BH$.

Так как $BH = 4$, то и $AH = 4$.

Теперь мы можем вычислить полную длину основания $AC$:

$AC = AH + HC = 4 + 6 = 10$.

Подставим найденные значения основания $AC$ и высоты $BH$ в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = \frac{40}{2} = 20$.

Площадь треугольника $ABC$ равна 20, что соответствует варианту ответа а).

Ответ: 20.