Геометрия 3D, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Площадь поверхности любого многогранника (иногда говорят площадь полной поверхности) равна сумме площадей всех его граней.

Задача.

На рисунке 237 изображена прямая четырехугольная призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями, равными 12 см и 6 см, и острым углом при основании, равным 60°. Наибольшая по площади боковая грань призмы является квадратом. Найдите площадь поверхности этой призмы.

Puc. 237

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Для решения задачи выполним последовательно следующие шаги:

Основанием призмы является равнобедренная трапеция. По условию, её основания равны $a = 12$ см и $b = 6$ см, а острый угол при большем основании составляет $60^\circ$.

Чтобы найти высоту $h$ и боковую сторону $c$ трапеции, опустим из вершины меньшего основания высоту на большее основание. В результате образуется прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен полуразности оснований трапеции:

$x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-6}{2} = 3$ см.

Этот катет прилежит к углу $60^\circ$. Боковая сторона трапеции $c$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем её, используя косинус угла:

$c = \frac{x}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Таким образом, стороны трапеции-основания равны 12 см, 6 см, 6 см и 6 см.

Высота трапеции $h$ является вторым катетом в этом же прямоугольном треугольнике. Найдем её, используя тангенс угла:

$h = x \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь одного основания (трапеции) по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

$S_{осн} = \frac{12+6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Призма является прямой, поэтому её боковые грани — прямоугольники. По условию, наибольшая по площади боковая грань — это квадрат. Площадь боковой грани зависит от длины соответствующей стороны основания. Наибольшая сторона основания — это большее основание трапеции, равное 12 см (так как 12 > 6).

Следовательно, боковая грань, построенная на стороне 12 см, является квадратом. Это означает, что её высота, которая является высотой призмы $H$, также равна 12 см.

$H = 12$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$. Вычислим периметр основания:

$P = 12 + 6 + 6 + 6 = 30$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P \cdot H = 30 \cdot 12 = 360$ см².

Сложим площадь боковой поверхности и площади двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 360 + 2 \cdot 27\sqrt{3} = 360 + 54\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(360 + 54\sqrt{3})$ см².