Тест 2, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Площадь ромба $ABCD$ равна $120 \text{ см}^2$, диагональ $BD = 10 \text{ см}$. Найдите периметр ромба.

а) 42 см;

б) 13 см;

в) 52 см;

г) 24 см.

Для того чтобы найти периметр ромба, необходимо знать длину его стороны. Мы можем найти сторону ромба, используя его диагонали.

1. Нахождение второй диагонали.

Площадь ромба ($S$) связана с его диагоналями ($d_1$ и $d_2$) следующей формулой:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Из условия задачи нам известны площадь $S = 120$ см² и одна из диагоналей $d_1 = BD = 10$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем вторую диагональ $d_2 = AC$:

$120 = \frac{10 \cdot d_2}{2}$

$120 = 5 \cdot d_2$

$d_2 = \frac{120}{5} = 24$ см.

Таким образом, длина второй диагонали $AC$ равна 24 см.

2. Нахождение стороны ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Возьмем один из них, например, треугольник $AOB$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей).

Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

$BO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Сторона ромба $AB$ является гипотенузой в этом треугольнике. Найдем ее длину по теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

$AB^2 = 12^2 + 5^2$

$AB^2 = 144 + 25 = 169$

$AB = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Нахождение периметра ромба.

Периметр ромба ($P$) — это сумма длин всех его четырех сторон. Так как все стороны ромба равны, формула для периметра:

$P = 4 \cdot AB$

Подставим найденную длину стороны:

$P = 4 \cdot 13 = 52$ см.

Этот результат соответствует варианту в).

Ответ: в) 52 см