Номер 255, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

255. В трапеции ABCD точка K принадлежит основанию AD, точка M – основанию BC, $S_{AMD} + S_{BKC} = 36 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются отрезки $AD$ и $BC$. Обозначим их длины как $AD = a$ и $BC = b$. Пусть высота трапеции, то есть перпендикулярное расстояние между основаниями, равна $h$.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2}h$

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его основание $AD$ лежит на прямой $AD$. Вершина $M$ лежит на прямой $BC$, которая параллельна прямой $AD$. Следовательно, высота треугольника $AMD$, проведенная из вершины $M$ к основанию $AD$, равна высоте трапеции $h$.

Площадь треугольника $AMD$ равна:

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2}ah$

Аналогично рассмотрим треугольник $BKC$. Его основание $BC$ лежит на прямой $BC$. Вершина $K$ лежит на прямой $AD$, которая параллельна прямой $BC$. Следовательно, высота треугольника $BKC$, проведенная из вершины $K$ к основанию $BC$, также равна высоте трапеции $h$.

Площадь треугольника $BKC$ равна:

$S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2}bh$

По условию задачи нам дана сумма площадей этих треугольников:

$S_{AMD} + S_{BKC} = 36 \text{ см}^2$

Подставим найденные выражения для площадей в это равенство:

$\frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = 36$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$\frac{1}{2}(a+b)h = 36$

Левая часть этого равенства в точности совпадает с формулой для площади трапеции $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$.

Таким образом, площадь трапеции $ABCD$ составляет 36 см².

Ответ: 36 см².