Номер 250, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

250. Дана трапеция $ABCD$, у которой $BC \parallel AD$, $O$ — точка пересечения диагоналей, $S_{AOD} = 27 \text{ см}^2$, $S_{BOC} = 3 \text{ см}^2$. Найдите $S_{ABCD}$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника: $\triangle AOD$, $\triangle BOC$, $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$.

Для решения задачи воспользуемся двумя свойствами площадей этих треугольников.

1. Свойство равенства площадей боковых треугольников.

Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны: $S_{ABO} = S_{CDO}$.

Это можно доказать, рассмотрев треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$, а высоты, проведенные к этому основанию из вершин $B$ и $C$, равны, так как являются высотой трапеции. Следовательно, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Поскольку $S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}$ и $S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}$, то, приравнивая их и вычитая общую площадь $S_{AOD}$, получаем $S_{ABO} = S_{CDO}$.

2. Свойство произведения площадей.

Для любого выпуклого четырехугольника, и для трапеции в частности, произведение площадей треугольников, образованных диагоналями при противолежащих сторонах, равны. То есть:

$S_{AOD} \cdot S_{BOC} = S_{ABO} \cdot S_{CDO}$

Используя первое свойство ($S_{ABO} = S_{CDO}$), мы можем переписать это соотношение как:

$S_{AOD} \cdot S_{BOC} = S_{ABO}^2$

Теперь подставим в эту формулу известные из условия значения: $S_{AOD} = 27 \text{ см}^2$ и $S_{BOC} = 3 \text{ см}^2$.

$27 \cdot 3 = S_{ABO}^2$

$81 = S_{ABO}^2$

$S_{ABO} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}^2$

Так как $S_{ABO} = S_{CDO}$, то $S_{CDO} = 9 \text{ см}^2$.

Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{ABO} + S_{CDO}$

Подставим все найденные и данные значения:

$S_{ABCD} = 27 + 3 + 9 + 9 = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48 \text{ см}^2$.