Номер 247, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

247. У шестиугольника $ABCDEF$ противоположные стороны равны и параллельны (рис. 222): $AB = DE$, $AB \parallel DE$, $BC = FE$, $BC \parallel FE$, $AF = CD$, $AF \parallel CD$. Площадь шестиугольника равна $60 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $BDF$.

Рис. 222

1. Анализ свойств шестиугольника

Шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, как указано в условии ($AB = DE, AB \parallel DE$; $BC = FE, BC \parallel FE$; $AF = CD, AF \parallel CD$), является центрально-симметричным. Пусть $O$ — центр симметрии этого шестиугольника. Важным свойством такого шестиугольника является то, что его главные диагонали ($AD, BE, CF$) пересекаются в центре симметрии $O$ и делятся этой точкой пополам. Таким образом, $O$ является серединой отрезков $AD$, $BE$ и $CF$.

2. Определение площадей через центр симметрии

Площадь шестиугольника $S_{ABCDEF}$ можно представить как сумму площадей шести треугольников, образованных соединением его вершин с центром симметрии $O$: $S_{ABCDEF} = S_{OAB} + S_{OBC} + S_{OCD} + S_{ODE} + S_{OEF} + S_{OFA}$.

Вследствие центральной симметрии, треугольники, расположенные напротив друг друга относительно центра $O$, конгруэнтны: $\triangle OAB \cong \triangle ODE$, $\triangle OBC \cong \triangle OEF$ и $\triangle OCD \cong \triangle OFA$. Из этого следует равенство их площадей: $S_{OAB} = S_{ODE}$, $S_{OBC} = S_{OEF}$, $S_{OCD} = S_{OFA}$. Таким образом, площадь всего шестиугольника можно записать как удвоенную сумму площадей трех последовательных треугольников: $S_{ABCDEF} = 2(S_{OAB} + S_{OBC} + S_{OCD})$.

3. Вычисление площади треугольника BDF

Площадь искомого треугольника $BDF$ также можно представить как сумму площадей трех треугольников с общей вершиной в центре $O$: $S_{BDF} = S_{OBD} + S_{ODF} + S_{OFB}$.

Теперь выразим площади этих трех треугольников, используя свойство медианы (которая делит треугольник на два равновеликих треугольника). В треугольнике $BDE$ отрезок $DO$ является медианой, так как $O$ — середина стороны $BE$. Следовательно, $S_{OBD} = S_{OED}$. Поскольку, как мы установили, $\triangle OED \cong \triangle OAB$, то $S_{OED} = S_{OAB}$. Значит, $S_{OBD} = S_{OAB}$.

Аналогично, в треугольнике $CDF$ отрезок $DO$ является медианой (так как $O$ — середина $CF$), поэтому $S_{ODF} = S_{ODC}$. И в треугольнике $BCF$ отрезок $BO$ является медианой (так как $O$ — середина $CF$), поэтому $S_{OFB} = S_{OBC}$.

Подставив эти равенства в формулу для площади треугольника $BDF$, получим: $S_{BDF} = S_{OBD} + S_{ODF} + S_{OFB} = S_{OAB} + S_{ODC} + S_{OBC}$.

4. Соотношение площадей и итоговый расчет

Сравним полученное выражение для $S_{BDF}$ с выражением для площади всего шестиугольника: $S_{BDF} = S_{OAB} + S_{OBC} + S_{OCD}$ $S_{ABCDEF} = 2(S_{OAB} + S_{OBC} + S_{OCD})$

Мы приходим к выводу, что площадь треугольника $BDF$ ровно в два раза меньше площади шестиугольника $ABCDEF$: $S_{BDF} = \frac{1}{2} S_{ABCDEF}$.

По условию задачи площадь шестиугольника равна 60 см². $S_{BDF} = \frac{1}{2} \times 60 = 30$ см².

Ответ: 30 см².