Номер 242, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

242. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB = 8 \text{ см}$, расстояние от середины боковой стороны $CD$ до прямой $AB$ равно $10 \text{ см}$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Боковая сторона $AB = 8$ см. Точка $M$ — середина боковой стороны $CD$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, которое мы обозначим как $h_M$, равно 10 см.

1. Дополнительное построение. Продолжим отрезок $BM$ за точку $M$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $K$. Таким образом, мы получаем треугольник $ABK$.

2. Доказательство равенства площади трапеции и площади полученного треугольника. Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle KDM$.

• Поскольку $AD \parallel BC$, то и $AK \parallel BC$. Прямая $BK$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CBM$ и $\angle DKM$ равны.
• Точка $M$ — середина отрезка $CD$, по определению $CM = DM$.
• Углы $\angle BMC$ и $\angle KMD$ равны как вертикальные.

По стороне и двум прилежащим углам (признак AAS) треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle KDM$ равны ($\triangle BCM \cong \triangle KDM$).

Из равенства треугольников следует и равенство их площадей: $S_{\triangle BCM} = S_{\triangle KDM}$. Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $ABMD$ и треугольника $BCM$: $S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle BCM}$ Заменим площадь $\triangle BCM$ на равную ей площадь $\triangle KDM$: $S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle KDM}$ Сумма площадей $S_{ABMD} + S_{\triangle KDM}$ в точности составляет площадь треугольника $ABK$. Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ABK$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABK}$

3. Вычисление площади треугольника $ABK$. Из равенства треугольников $\triangle BCM \cong \triangle KDM$ также следует, что соответствующие стороны равны: $BM = KM$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BK$ треугольника $ABK$. Отрезок $AM$, соединяющий вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BK$, является медианой треугольника $ABK$. Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Следовательно, $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle AKM}$. Тогда площадь треугольника $ABK$ равна удвоенной площади треугольника $ABM$: $S_{\triangle ABK} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle AKM} = 2 \cdot S_{\triangle ABM}$

Найдем площадь треугольника $ABM$. Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ В качестве основания возьмем сторону $AB$. Ее длина дана в условии: $AB = 8$ см. Высотой, проведенной к основанию $AB$, является перпендикуляр, опущенный из вершины $M$ на прямую $AB$. Длина этого перпендикуляра — это и есть расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, которое по условию равно $h_M = 10$ см. $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_M = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

4. Окончательный расчет. Теперь мы можем найти площадь трапеции, которая, как мы доказали, равна площади треугольника $ABK$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABK} = 2 \cdot S_{\triangle ABM} = 2 \cdot 40 \text{ см}^2 = 80 \text{ см}^2$.

Ответ: 80 см².