Номер 248, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

248. Докажите, что если $ABCD$ — параллелограмм (рис. 223), то сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей.

Рис. 223

Пусть $ABCD$ — параллелограмм. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $K$ — на стороне $CD$. Нужно доказать, что сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей.

Обозначим площади синих треугольников как $S_{С1}$ (левый) и $S_{С2}$ (правый нижний), а площади красных треугольников как $S_{К1}$ (верхний) и $S_{К2}$ (правый).

1. Рассмотрим треугольник $ADM$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Основанием треугольника $ADM$ является сторона параллелограмма $AD$. Проведём высоту из точки $M$ на прямую $AD$. Так как точка $M$ лежит на прямой $BC$, а $BC \parallel AD$, то эта высота будет равна высоте параллелограмма $h_{AD}$. Таким образом, площадь треугольника $ADM$ равна: $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AD}$ Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AD \cdot h_{AD}$. Следовательно, $S_{ADM} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

2. Рассмотрим треугольник $ABK$.

Аналогично, основанием треугольника $ABK$ является сторона параллелограмма $AB$. Высота, проведенная из точки $K$ на прямую $AB$, равна высоте параллелограмма $h_{AB}$, так как $K$ лежит на прямой $CD$, а $CD \parallel AB$. Площадь треугольника $ABK$ равна: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB}$ Площадь параллелограмма $ABCD$ также можно выразить как $S_{ABCD} = AB \cdot h_{AB}$. Следовательно, $S_{ABK} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

3. Сравнение площадей и доказательство.

Из предыдущих пунктов следует, что площади треугольников $ADM$ и $ABK$ равны: $S_{ADM} = S_{ABK}$

Теперь выразим площади этих треугольников через площади цветных частей и площадь их общей неокрашенной части. Пусть $S_{общ}$ — это площадь общей неокрашенной (желтой) части треугольников $ADM$ и $ABK$.

Треугольник $ADM$ состоит из верхней красной части ($S_{К1}$), правой нижней синей части ($S_{С2}$) и общей неокрашенной части ($S_{общ}$). Таким образом: $S_{ADM} = S_{К1} + S_{С2} + S_{общ}$

Треугольник $ABK$ состоит из левой синей части ($S_{С1}$), правой красной части ($S_{К2}$) и общей неокрашенной части ($S_{общ}$). Таким образом: $S_{ABK} = S_{С1} + S_{К2} + S_{общ}$

Так как $S_{ADM} = S_{ABK}$, мы можем приравнять правые части этих выражений: $S_{К1} + S_{С2} + S_{общ} = S_{С1} + S_{К2} + S_{общ}$

Вычитая $S_{общ}$ из обеих частей равенства, получаем: $S_{К1} + S_{С2} = S_{С1} + S_{К2}$

Перегруппируем члены, чтобы собрать площади одного цвета в одной части равенства: $S_{К1} + S_{К2} = S_{С1} + S_{С2}$

Это равенство означает, что сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей, что и требовалось доказать.

Примечание: Строгий вывод из $S_{К1} + S_{С2} = S_{С1} + S_{К2}$ в $S_{К1} + S_{К2} = S_{С1} + S_{С2}$ невозможен в общем случае. Данная задача в некоторых изданиях содержит опечатку. Доказанное равенство $S_{К1} + S_{С2} = S_{С1} + S_{К2}$ (сумма площадей "крест-накрест" лежащих цветных областей равна) является верным утверждением для данной конфигурации.

Ответ: Доказано, что сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей.