Номер 252, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

252. Дан параллелограмм ABCD (рис. 228), $S_{KMC} = 9$ см$^2$, $S_{KCD} = 15$ см$^2$. Найдите площадь параллелограмма.

Рис. 228

Решение:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle KMC$ и $\triangle KCD$. У них общая вершина C, а их основания KM и KD лежат на одной прямой DM. Проведем высоту CH из вершины C на прямую DM. Площади этих треугольников можно выразить как:

$S_{\triangle KMC} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot CH$

$S_{\triangle KCD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot CH$

Найдем отношение их площадей:

$\frac{S_{\triangle KMC}}{S_{\triangle KCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot KM \cdot CH}{\frac{1}{2} \cdot KD \cdot CH} = \frac{KM}{KD}$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{KM}{KD} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

2. В параллелограмме ABCD стороны BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$). Рассмотрим треугольники $\triangle KMC$ и $\triangle AKD$.

• $\angle MKC = \angle AKD$ (как вертикальные углы).
• $\angle MCK = \angle DAK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Следовательно, треугольники $\triangle KMC$ и $\triangle AKD$ подобны по двум углам ($\triangle KMC \sim \triangle AKD$).

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение соответственных сторон:

$k = \frac{AK}{KC} = \frac{AD}{MC} = \frac{KD}{KM}$

Из пункта 1 мы знаем, что $\frac{KD}{KM} = \frac{5}{3}$. Значит, $k = \frac{5}{3}$.

Тогда отношение площадей равно:

$\frac{S_{\triangle AKD}}{S_{\triangle KMC}} = k^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$

Отсюда можем найти площадь треугольника $\triangle AKD$:

$S_{\triangle AKD} = S_{\triangle KMC} \cdot \frac{25}{9} = 9 \cdot \frac{25}{9} = 25$ см².

4. Теперь найдем площадь треугольника $\triangle ACD$. Она состоит из площадей треугольников $\triangle AKD$ и $\triangle KCD$.

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AKD} + S_{\triangle KCD} = 25 + 15 = 40$ см².

5. Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Следовательно, площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника $\triangle ACD$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ACD} = 2 \cdot 40 = 80$ см².

Ответ: 80 см².