Номер 256, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

256. Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ относятся как $2 : 5$, $S_{ABC} = 18~\text{см}^2$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, проведенная между параллельными основаниями $BC$ и $AD$.

Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$.

Площадь треугольника $ABC$ с основанием $BC$ и высотой $h$ (высота трапеции является высотой треугольника, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$) вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$

Площадь треугольника $ACD$ с основанием $AD$ и высотой $h$ (опущенной из вершины $C$) вычисляется по формуле: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$

Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$

Найдем отношение площадей треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$: $\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h} = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи, основания $BC$ и $AD$ относятся как $2:5$, то есть $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$. Отсюда следует, что $\frac{AD}{BC} = \frac{5}{2}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ACD$, зная площадь треугольника $ABC$: $S_{ACD} = S_{ABC} \cdot \frac{AD}{BC} = 18 \cdot \frac{5}{2} = 9 \cdot 5 = 45 \, \text{см}^2$.

Наконец, найдем площадь трапеции $ABCD$: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 18 + 45 = 63 \, \text{см}^2$.

Ответ: $63 \, \text{см}^2$.