Номер 249, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

249. Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного.

Это утверждение известно как теорема Вариньона. Докажем его.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Обозначим площадь четырехугольника $ABCD$ как $S_{ABCD}$. Требуется доказать, что площадь четырехугольника $KLMN$ ($S_{KLMN}$) равна половине площади $S_{ABCD}$.

Площадь внутреннего четырехугольника $KLMN$ можно вычислить, вычтя из площади исходного четырехугольника $ABCD$ площади четырех «угловых» треугольников: $\triangle AKN, \triangle KBL, \triangle LCM$ и $\triangle NDM$.

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle KBL} + S_{\triangle LCM} + S_{\triangle NDM})$

Для нахождения суммарной площади угловых треугольников воспользуемся диагоналями исходного четырехугольника.

1. Проведем диагональ $AC$. Она делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ — средняя линия $\triangle ABC$. Треугольник $\triangle KBL$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{KB}{AB} = \frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$S_{\triangle KBL} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC} = (\frac{1}{2})^2 S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$

Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $NM$ является средней линией. Поэтому:

$S_{\triangle NDM} = \frac{1}{4} S_{\triangle ADC}$

Сумма площадей этих двух треугольников равна:

$S_{\triangle KBL} + S_{\triangle NDM} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

2. Теперь проведем диагональ $BD$. Она делит четырехугольник $ABCD$ на треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Аналогично первому случаю, отрезки $KN$ и $LM$ являются средними линиями в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ соответственно. Таким образом:

$S_{\triangle AKN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD}$

$S_{\triangle LCM} = \frac{1}{4} S_{\triangle CBD}$

Сумма площадей этих двух треугольников равна:

$S_{\triangle AKN} + S_{\triangle LCM} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \frac{1}{4} S_{\triangle CBD} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

3. Найдем суммарную площадь всех четырех угловых треугольников, сложив результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$S_{\text{углов}} = (S_{\triangle KBL} + S_{\triangle NDM}) + (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle LCM}) = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

4. Наконец, вычисляем площадь четырехугольника $KLMN$:

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{\text{углов}} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Таким образом, доказано, что площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного.

Ответ: Утверждение доказано. $S_{KLMN} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$.