Номер 243, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

243. В четырехугольнике $ABCD$ $AB = BC$, углы $B$ и $D$ — прямые (рис. 216). Перпендикуляр $BK$ к прямой $AD$ равен $4$ см. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.

Рис. 216

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму или разность площадей простых фигур.

1. Опустим перпендикуляр $BK$ из вершины $B$ на прямую $AD$. По условию, $BK = 4$ см. Так как угол $D$ прямой, то $CD \perp AD$. Следовательно, отрезки $BK$ и $CD$ параллельны, и четырехугольник $KBCD$ является прямоугольной трапецией с основаниями $BK$ и $CD$ и высотой $KD$.

2. Введем систему координат. Поместим точку $K$ в начало координат $(0,0)$, а прямую $AD$ расположим на оси $Ox$. Так как $BK \perp AD$, точка $B$ будет лежать на оси $Oy$. Учитывая, что $BK=4$ см, координаты точки $B$ будут $(0, 4)$.

3. Точки $A$ и $D$ лежат на оси $Ox$. Возможны два случая расположения точки $A$ относительно точки $K$ на прямой $AD$.

Случай 1: Точка K лежит между A и D.

Пусть $AK = a$ и $KD = b$. Тогда координаты вершин: $A(-a, 0)$, $K(0, 0)$, $D(b, 0)$, $B(0, 4)$. Так как $CD \perp AD$, точка $C$ имеет ту же абсциссу, что и $D$. Пусть $CD = c$. Тогда координаты точки $C(b, c)$.

По условию задачи $AB = BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Вектор $\vec{BC}$ получается из вектора $\vec{BA}$ поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Найдем векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = A - B = (-a, 0) - (0, 4) = (-a, -4)$

$\vec{BC} = C - B = (b, c) - (0, 4) = (b, c-4)$

При повороте вектора $(x, y)$ на $90^\circ$ против часовой стрелки получается вектор $(-y, x)$. Применим это к вектору $\vec{BA}$:Повернутый вектор: $(-(-4), -a) = (4, -a)$.

Этот вектор должен быть равен $\vec{BC}$. Приравниваем их координаты:

$(4, -a) = (b, c-4)$

Отсюда получаем систему уравнений:

$b = 4$ (то есть $KD = 4$ см)

$-a = c-4 \implies a = 4-c$ (то есть $AK = 4 - CD$)

Теперь найдем площадь четырехугольника $ABCD$. Она равна сумме площади треугольника $\triangle ABK$ и площади трапеции $KBCD$.

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 = 2a = 2(4-c) = 8 - 2c$

$S_{KBCD} = \frac{BK+CD}{2} \cdot KD = \frac{4+c}{2} \cdot b = \frac{4+c}{2} \cdot 4 = 2(4+c) = 8 + 2c$

$S_{ABCD} = S_{ABK} + S_{KBCD} = (8 - 2c) + (8 + 2c) = 16$ см$^2$.

Случай 2: Точка A лежит между K и D.

Пусть $AK = a$ и $KD = b$. Тогда координаты вершин: $A(a, 0)$, $K(0, 0)$, $D(b, 0)$ (где $b>a$), $B(0, 4)$. Координаты $C$ остаются $(b, c)$.

Найдем векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = A - B = (a, 0) - (0, 4) = (a, -4)$

$\vec{BC} = C - B = (b, c) - (0, 4) = (b, c-4)$

Поворачиваем вектор $\vec{BA}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки:Повернутый вектор: $(-(-4), a) = (4, a)$.

Приравниваем его к $\vec{BC}$:

$(4, a) = (b, c-4)$

Отсюда получаем систему уравнений:

$b=4$ (то есть $KD = 4$ см)

$a = c-4$ (то есть $AK = CD - 4$)

Теперь найдем площадь четырехугольника $ABCD$. В этом случае она равна разности площадей трапеции $KBCD$ и треугольника $\triangle ABK$.

$S_{KBCD} = \frac{BK+CD}{2} \cdot KD = \frac{4+c}{2} \cdot b = \frac{4+c}{2} \cdot 4 = 2(4+c) = 8 + 2c$

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 = 2a = 2(c-4) = 2c - 8$

$S_{ABCD} = S_{KBCD} - S_{ABK} = (8 + 2c) - (2c - 8) = 8 + 2c - 2c + 8 = 16$ см$^2$.

В обоих случаях площадь четырехугольника $ABCD$ оказывается равной 16 см$^2$.

Ответ: $16$ см$^2$.