Номер 238, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

238. Вершины равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ лежат на окружности, $AD$ — диаметр (рис. 213). Найдите высоту и площадь трапеции, если $BC = 12 \text{ см}$ и $AD = 20 \text{ см}$.

Рис. 213

Дано: $ABCD$ — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность.
$BC$ и $AD$ — основания.
$AD$ — диаметр окружности.
$BC = 12$ см.
$AD = 20$ см.

Высота трапеции

1. Поскольку $AD$ — это диаметр окружности, ее центр $O$ является серединой $AD$. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

2. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCH$.

3. Гипотенуза $OC$ данного треугольника является радиусом окружности, так как точка $C$ лежит на окружности. Следовательно, $OC = R = 10$ см.

4. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, где одно из оснований является диаметром, высоты, опущенные из вершин другого основания, делят диаметр таким образом, что расстояние от центра окружности до основания высоты равно половине длины этого основания. Проведем высоты $BK$ и $CH$ на основание $AD$. Тогда четырехугольник $BCHK$ — прямоугольник, и $KH = BC = 12$ см. В силу симметрии трапеции, центр $O$ является серединой отрезка $KH$. Таким образом, длина катета $OH$ в треугольнике $OCH$ равна:
$OH = \frac{KH}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

5. Найдем второй катет $CH$, который и является высотой трапеции $h$, по теореме Пифагора: $OC^2 = OH^2 + CH^2$.
$h^2 = CH^2 = OC^2 - OH^2$
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: высота трапеции равна 8 см.

Площадь трапеции

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:
$a = AD = 20$ см
$b = BC = 12$ см
$h = 8$ см

Выполним расчет:
$S = \frac{20 + 12}{2} \cdot 8 = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ см$^2$.

Ответ: площадь трапеции равна 128 см$^2$.