Номер 240, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

240. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, $S_{BOC} = 4 \text{ см}^2$, $S_{AOB} = 8 \text{ см}^2$ (рис. 215). Найдите площадь трапеции.

Рис. 215

Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали, пересекающиеся в точке $O$: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$.

По условию дано, что $S_{BOC} = 4$ см$^2$ и $S_{AOB} = 8$ см$^2$. Для нахождения площади трапеции необходимо найти площади треугольников $COD$ и $DOA$.

1. Нахождение площади треугольника $COD$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У них общее основание $AD$, а их высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию, равны, так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Площадь треугольника $ABD$ можно представить как сумму площадей $S_{AOB} + S_{DOA}$, а площадь треугольника $ACD$ как $S_{COD} + S_{DOA}$.

Приравнивая выражения для площадей, получаем:

$S_{AOB} + S_{DOA} = S_{COD} + S_{DOA}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{DOA}$, получаем важное свойство трапеции: площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны.

$S_{AOB} = S_{COD}$

Так как по условию $S_{AOB} = 8$ см$^2$, то и $S_{COD} = 8$ см$^2$.

2. Нахождение площади треугольника $DOA$

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $BOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{8}{4} = 2$, значит, $\frac{AO}{OC} = 2$.

Теперь рассмотрим треугольники $DOA$ и $COD$. Они также имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к прямой $AC$, поэтому отношение их площадей также равно отношению их оснований:

$\frac{S_{DOA}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$

Мы уже знаем, что $\frac{AO}{OC} = 2$ и $S_{COD} = 8$ см$^2$. Подставляем эти значения в пропорцию:

$\frac{S_{DOA}}{8} = 2$

Отсюда находим $S_{DOA}$:

$S_{DOA} = 2 \cdot 8 = 16$ см$^2$.

3. Нахождение площади трапеции $ABCD$

Теперь, зная площади всех четырех треугольников, мы можем найти общую площадь трапеции, сложив их:

$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$

$S_{ABCD} = 8 + 4 + 8 + 16 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.