Номер 241, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

241. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см, угол при основании равен 60°, диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите отношение площадей треугольников, на которые диагональ делит трапецию (в ответе укажите отношение меньшей площади к большей).

Решение

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, боковая сторона $CD = 4$ см, угол при основании $\angle ADC = 60^\circ$, и диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$.

Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Площадь треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами трапеции, можно вычислить. Отношение площадей треугольников, на которые диагональ делит трапецию, равно отношению длин оснований трапеции, так как эти треугольники имеют одинаковую высоту, опущенную из общей вершины на прямую, содержащую основания. Таким образом, задача сводится к нахождению длин оснований $AD$ и $BC$.

Сначала найдем длину большего основания $AD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$). В нем известны катет $CD = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ADC = 60^\circ$. Гипотенуза $AD$ является большим основанием трапеции. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle ADC) = \frac{CD}{AD}$
Отсюда находим $AD$:
$AD = \frac{CD}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Теперь найдем длину меньшего основания $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно $\angle DAB = \angle ADC = 60^\circ$.
Теперь мы можем найти угол $\angle CAB$: $\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
В треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = 30^\circ$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным, и стороны, лежащие против равных углов, равны: $BC = AB$.
Так как исходная трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 4$ см.
Следовательно, $BC = 4$ см.

Найдем отношение площадей, которое, как мы установили, равно отношению оснований. В задаче просят указать отношение меньшей площади к большей. Так как $BC < AD$, то $S_{\triangle ABC} < S_{\triangle ACD}$.
Искомое отношение:
$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1:2.