Номер 220, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

220. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найдите наименьшую высоту этого треугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством высот и площади треугольника. Наименьшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне.

Даны стороны треугольника: $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.
Наибольшая сторона — $c = 15$ см. Следовательно, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь треугольника $S$ можно найти двумя способами:
1. По формуле Герона, так как известны все три стороны.
2. По формуле $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c$.

Приравняв результаты, можно будет найти высоту.

Шаг 1: Вычисление площади треугольника по формуле Герона.
Сначала найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см$^2$.

Шаг 2: Нахождение наименьшей высоты.
Наименьшая высота $h_{min}$ проведена к наибольшей стороне (15 см). Используем формулу площади:$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_{min}$
Подставим найденное значение площади:$84 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_{min}$
Выразим высоту:$h_{min} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15}$
Сократим дробь на 3:$h_{min} = \frac{56}{5} = 11,2$ см.

Ответ: 11,2 см.