Номер 217, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

217. ABCD — параллелограмм (рис. 198), $\text{BK} = 8$, $\text{CD} = 10$, $\text{KD} = 12$. Найдите:

а) площадь параллелограмма;

б) высоту, проведенную к стороне $\text{CD}$.

Рис. 198

а) площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. В данном случае у нас есть высота $BK = 8$, проведенная к стороне $AD$. Чтобы найти площадь, нам нужно сначала определить длину стороны $AD$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$. Из условия задачи нам известно, что $CD = 10$, следовательно, $AB = 10$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Поскольку $BK$ является высотой, опущенной на сторону $AD$, то угол $\angle BKA$ — прямой ($90^\circ$), и $\triangle ABK$ — прямоугольный. В этом треугольнике гипотенуза $AB = 10$, а катет $BK = 8$.

Применим теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для нахождения длины второго катета $AK$:

$AK^2 + BK^2 = AB^2$

$AK^2 = AB^2 - BK^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$AK = \sqrt{36} = 6$

Теперь мы можем найти полную длину стороны $AD$, которая состоит из двух отрезков: $AK$ и $KD$.

$AD = AK + KD$

Подставляем известные значения $AK=6$ и $KD=12$:

$AD = 6 + 12 = 18$

Теперь, зная сторону $AD=18$ и высоту к ней $BK=8$, мы можем вычислить площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = AD \cdot BK = 18 \cdot 8 = 144$

Ответ: 144.

б) высоту, проведенную к стороне CD

Площадь параллелограмма также можно вычислить, используя другую сторону и соответствующую ей высоту. Обозначим высоту, проведенную к стороне $CD$, как $h_{CD}$. Тогда формула площади будет выглядеть так: $S_{ABCD} = CD \cdot h_{CD}$.

Из пункта а) мы уже знаем площадь параллелограмма: $S_{ABCD} = 144$.

Длина стороны $CD$ дана в условии и равна 10.

Подставим известные значения в формулу и найдем высоту $h_{CD}$:

$144 = 10 \cdot h_{CD}$

$h_{CD} = \frac{144}{10} = 14,4$

Ответ: 14,4.