Номер 211, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

211. Определите, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны:

a) 20 мм, 21 мм, 29 мм;

б) 5 м, 6 м, 7 м;

в) $\sqrt{2}$ см, $\sqrt{3}$ см, $\sqrt{5}$ см.

Для того чтобы определить, является ли треугольник прямоугольным, зная длины его сторон, необходимо воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Математически это выражается формулой $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — самая длинная сторона (предполагаемая гипотенуза), а $a$ и $b$ — две другие стороны (предполагаемые катеты).

а) 20 мм, 21 мм, 29 мм;

Определим наибольшую сторону. В данном случае это $c = 29$ мм. Две другие стороны равны $a = 20$ мм и $b = 21$ мм.

Проверим, выполняется ли равенство $c^2 = a^2 + b^2$.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$a^2 + b^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.

Теперь найдем квадрат большей стороны:

$c^2 = 29^2 = 841$.

Сравниваем результаты: $841 = 841$.

Поскольку равенство выполняется, данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: да, является.

б) 5 м, 6 м, 7 м;

Наибольшая сторона в этом треугольнике — $c = 7$ м. Две другие стороны: $a = 5$ м и $b = 6$ м.

Проверим, выполняется ли равенство $c^2 = a^2 + b^2$.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

Теперь найдем квадрат большей стороны:

$c^2 = 7^2 = 49$.

Сравниваем результаты: $61 \neq 49$.

Поскольку равенство не выполняется, данный треугольник не является прямоугольным.

Ответ: нет, не является.

в) $\sqrt{2}$ см, $\sqrt{3}$ см, $\sqrt{5}$ см.

Для определения наибольшей стороны сравним подкоренные выражения. Поскольку $5$ — наибольшее число из $2, 3, 5$, то сторона $c = \sqrt{5}$ см является наибольшей. Две другие стороны: $a = \sqrt{2}$ см и $b = \sqrt{3}$ см.

Проверим, выполняется ли равенство $c^2 = a^2 + b^2$.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$.

Теперь найдем квадрат большей стороны:

$c^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Сравниваем результаты: $5 = 5$.

Поскольку равенство выполняется, данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: да, является.