Номер 205, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

205. Зная катеты $a$ и $b$ прямоугольного треугольника, найдите гипотенузу $c$:

а) $a = 9$ см, $b = 12$ см;

б) $a = 1$ см, $b = 2$ см;

в) $a = \sqrt{12}$ дм, $b = \sqrt{13}$ дм;

г) $a = (\sqrt{7}-1)$ м, $b = (\sqrt{7}+1)$ м.

Для нахождения гипотенузы c прямоугольного треугольника по известным катетам a и b используется теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. Отсюда гипотенуза равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Даны катеты $a = 9$ см и $b = 12$ см.
Найдем гипотенузу $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.
Ответ: 15 см.

Даны катеты $a = 1$ см и $b = 2$ см.
Найдем гипотенузу $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.
Ответ: $\sqrt{5}$ см.

Даны катеты $a = \sqrt{12}$ дм и $b = \sqrt{13}$ дм.
Найдем гипотенузу $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{12})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5$ дм.
Ответ: 5 дм.

Даны катеты $a = (\sqrt{7} - 1)$ м и $b = (\sqrt{7} + 1)$ м.
Найдем квадрат гипотенузы $c^2$:
$c^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{7} - 1)^2 + (\sqrt{7} + 1)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$(\sqrt{7} - 1)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = 8 - 2\sqrt{7}$.
$(\sqrt{7} + 1)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 + 2\sqrt{7} + 1 = 8 + 2\sqrt{7}$.
Сложим полученные выражения:
$c^2 = (8 - 2\sqrt{7}) + (8 + 2\sqrt{7}) = 16$.
Тогда гипотенуза $c$ равна:
$c = \sqrt{16} = 4$ м.
Ответ: 4 м.