Номер 202, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

202. Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$ (рис. 179).

Площадь параллелограмма равна $120\text{ см}^2$. Найдите площадь четырехугольника $MECD$.

Рис. 179

Для нахождения площади четырехугольника $MECD$ представим ее как сумму площадей двух треугольников: $\triangle MCD$ и $\triangle MEC$. Таким образом, $S_{MECD} = S_{\triangle MCD} + S_{\triangle MEC}$.

1. Найдем площадь треугольника MCD.

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ делит его на два равновеликих треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь каждого из них равна половине площади параллелограмма:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 120 \text{ см}^2 = 60 \text{ см}^2$.

В треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $CM$ является медианой, так как по условию точка $M$ — середина стороны $AD$. Медиана делит треугольник на два треугольника с равной площадью. Следовательно, площадь $\triangle MCD$ равна половине площади $\triangle ADC$:

$S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см}^2 = 30 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь треугольника MEC.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEM$ и $\triangle CEB$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Поскольку $M$ лежит на $AD$, то $BC \parallel AM$.

Угол $\angle MAE$ равен углу $\angle BCE$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Аналогично, угол $\angle AME$ равен углу $\angle CBE$ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $BM$. Таким образом, треугольники $\triangle AEM$ и $\triangle CEB$ подобны по двум углам ($\triangle AEM \sim \triangle CEB$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных сторон. Возьмем стороны $AM$ и $CB$:

$k = \frac{AM}{CB}$.

По условию $M$ — середина $AD$, поэтому $AM = \frac{1}{2} AD$. В параллелограмме $AD = BC$, значит $AM = \frac{1}{2} BC$. Подставим это в формулу для коэффициента подобия:

$k = \frac{\frac{1}{2} BC}{BC} = \frac{1}{2}$.

Отношение других соответственных сторон, $AE$ и $CE$, также равно $k$:

$\frac{AE}{CE} = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Его площадь, как и площадь $\triangle MCD$, равна $30 \text{ см}^2$. Отрезок $ME$ делит этот треугольник на два: $\triangle AME$ и $\triangle CME$ (тот же, что и $\triangle MEC$). У этих двух треугольников общая высота, проведенная из вершины $M$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AE$ и $CE$:

$\frac{S_{\triangle AME}}{S_{\triangle CME}} = \frac{AE}{CE} = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $S_{\triangle CME} = 2 \cdot S_{\triangle AME}$.

Площадь $\triangle AMC$ является суммой площадей этих двух треугольников:

$S_{\triangle AMC} = S_{\triangle AME} + S_{\triangle CME} = S_{\triangle AME} + 2 \cdot S_{\triangle AME} = 3 \cdot S_{\triangle AME}$.

Зная, что $S_{\triangle AMC} = 30 \text{ см}^2$, находим $S_{\triangle AME}$:

$30 \text{ см}^2 = 3 \cdot S_{\triangle AME} \implies S_{\triangle AME} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь можем найти площадь треугольника $MEC$:

$S_{\triangle MEC} = S_{\triangle CME} = 2 \cdot S_{\triangle AME} = 2 \cdot 10 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

3. Вычислим площадь четырехугольника MECD.

Сложим площади треугольников, из которых состоит четырехугольник:

$S_{MECD} = S_{\triangle MCD} + S_{\triangle MEC} = 30 \text{ см}^2 + 20 \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$.

Ответ: 50 см².