Номер 199, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

199. Докажите, что если диагонали $d_1$ и $d_2$ выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его площадь $S = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Площадь четырехугольника можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает одна из диагоналей, например, диагональ AC. Эти треугольники — $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле как половина произведения его основания на высоту. Для треугольника $\triangle ABC$ примем сторону AC за основание. Поскольку по условию диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), то отрезок BO является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию AC.

Следовательно, площадь $\triangle ABC$ равна:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO$

Аналогично для треугольника $\triangle ADC$: сторона AC является основанием, а отрезок DO — высотой, проведенной к этому основанию.

Площадь $\triangle ADC$ равна:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти общую площадь четырехугольника:

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot AC$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Сумма отрезков $BO + DO$ равна длине всей диагонали BD. То есть, $BO + DO = BD = d_2$. Подставим известные длины диагоналей $AC = d_1$ и $BD = d_2$ в полученное выражение:

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{d_1 d_2}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если диагонали $d_1$ и $d_2$ выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{d_1 d_2}{2}$.