Гимнастика ума, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Как в треугольнике $ABC$ следует провести ломаную $BKMNP$, чтобы он разбился на пять равных по площади треугольников (рис. 181)?

Рис. 181

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$. По условию задачи, ломаная $BKMNP$ разбивает треугольник $ABC$ на пять треугольников равной площади: $\triangle ABK, \triangle BKM, \triangle KMN, \triangle MNP$ и $\triangle PNC$. Это означает, что площадь каждого из этих пяти треугольников должна быть равна $S = \frac{1}{5} S_{ABC}$. Для нахождения положения точек $K, M, N, P$ будем последовательно использовать свойство, согласно которому отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

Сначала найдем положение точки $K$ на стороне $AC$. Треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{AK}{AC}$. Поскольку $S_{ABK} = \frac{1}{5} S_{ABC}$, получаем, что $\frac{AK}{AC} = \frac{1}{5}$. Таким образом, точка $K$ должна делить сторону $AC$ в отношении $AK:KC = 1:4$.

Далее найдем положение точки $M$ на стороне $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle CKM$. У них общая высота, проведенная из вершины $K$ к стороне $BC$. Площадь $\triangle BKM$ по условию равна $S = \frac{1}{5} S_{ABC}$. Площадь $\triangle CKM$ является суммой площадей $\triangle KMN, \triangle MNP$ и $\triangle PNC$, то есть $S_{CKM} = S + S + S = 3S$. Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований: $\frac{S_{BKM}}{S_{CKM}} = \frac{BM}{CM} = \frac{S}{3S} = \frac{1}{3}$. Значит, точка $M$ должна делить сторону $BC$ в отношении $BM:MC = 1:3$.

Теперь определим положение точки $N$ на стороне $AC$. Треугольники $\triangle KMN$ и $\triangle CMN$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $M$. Площадь $\triangle KMN$ равна $S$. Площадь $\triangle CMN$ равна сумме площадей $\triangle MNP$ и $\triangle PNC$, то есть $S_{CMN} = S + S = 2S$. Отношение их площадей: $\frac{S_{KMN}}{S_{CMN}} = \frac{KN}{CN} = \frac{S}{2S} = \frac{1}{2}$. Следовательно, точка $N$ должна делить отрезок $KC$ в отношении $KN:NC = 1:2$.

Наконец, найдем положение точки $P$ на стороне $BC$. Треугольники $\triangle MNP$ и $\triangle PNC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $N$. По условию, их площади равны $S$. Отношение их площадей: $\frac{S_{MNP}}{S_{PNC}} = \frac{MP}{PC} = \frac{S}{S} = 1$. Отсюда следует, что $MP = PC$, то есть точка $P$ является серединой отрезка $MC$.

Ответ: Ломаную $BKMNP$ следует провести так, чтобы точки $K, M, N, P$ были расположены следующим образом:

1. Точка $K$ находится на стороне $AC$ и делит ее в отношении $AK:KC = 1:4$.
2. Точка $M$ находится на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BM:MC = 1:3$.
3. Точка $N$ находится на отрезке $KC$ (часть стороны $AC$) и делит его в отношении $KN:NC = 1:2$.
4. Точка $P$ находится на отрезке $MC$ (часть стороны $BC$) и является его серединой, то есть делит его в отношении $MP:PC = 1:1$.