Номер 204, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

204. Найдите геометрическое место вершин треугольников, имеющих общее основание $a$ и равные площади $S$, если эти вершины противоположны данному основанию.

Пусть дано основание треугольника, которое является отрезком с длиной $a$, и площадь треугольника $S$. Требуется найти геометрическое место точек, которые могут быть третьей вершиной такого треугольника.

Обозначим основание как отрезок $AB$, его длина $|AB| = a$. Пусть $C$ — третья вершина треугольника $ABC$, расположенная напротив основания $AB$.

Площадь любого треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

В нашем случае основанием является сторона $AB$ длиной $a$, а высотой — перпендикуляр $h$, опущенный из вершины $C$ на прямую, содержащую отрезок $AB$. Таким образом, формула для площади нашего треугольника выглядит так: $S = \frac{1}{2} a h$

По условию задачи, значения площади $S$ и длины основания $a$ являются постоянными положительными величинами. Мы можем выразить из этой формулы высоту $h$: $h = \frac{2S}{a}$

Из этого выражения следует, что высота $h$ для всех таких треугольников также является постоянной величиной. Высота $h$ — это расстояние от вершины $C$ до прямой, содержащей основание $AB$.

Геометрическое место точек на плоскости, находящихся на заданном постоянном расстоянии $h$ от заданной прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на расстоянии $h$ от нее по обе стороны.

Следовательно, все возможные положения вершины $C$ лежат на двух прямых, параллельных прямой, содержащей основание $a$. Так как в условии не наложено ограничений на расположение вершины относительно основания (кроме того, что она ему противоположна, то есть не совпадает с его концами), подходят вершины, лежащие в обеих полуплоскостях относительно прямой, содержащей основание.

Ответ: Искомое геометрическое место вершин — это две прямые, параллельные прямой, содержащей данное основание, и находящиеся на расстоянии $h = \frac{2S}{a}$ от нее по обе стороны.