Номер 218, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

218. При помощи теоремы Пифагора, используя рисунок 199, докажите, что если из одной точки к прямой проведены две наклонные CA и CB, то равным наклонным соответствуют равные проекции, большей наклонной соответствует большая проекция.

Рис. 199

Пусть из точки C к прямой проведены перпендикуляр CH и две наклонные CA и CB, как показано на рисунке. Отрезки AH и HB являются проекциями этих наклонных на данную прямую. Поскольку CH — перпендикуляр к прямой AB, то треугольники ΔCHA и ΔCHB являются прямоугольными с общим катетом CH.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

В ΔCHA: $CA^2 = AH^2 + CH^2$

В ΔCHB: $CB^2 = HB^2 + CH^2$

Из этих равенств выразим квадраты проекций AH и HB:

$AH^2 = CA^2 - CH^2$ (1)

$HB^2 = CB^2 - CH^2$ (2)

Теперь докажем оба утверждения, используя эти формулы.

равным наклонным соответствуют равные проекции

Пусть наклонные CA и CB равны, то есть $CA = CB$. Если равны длины отрезков, то равны и их квадраты: $CA^2 = CB^2$.
Теперь сравним правые части уравнений (1) и (2). Так как $CA^2 = CB^2$, то разности $CA^2 - CH^2$ и $CB^2 - CH^2$ также равны.
Следовательно, $AH^2 = HB^2$.
Поскольку длины проекций AH и HB — это положительные числа, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $AH = HB$.
Утверждение доказано.
Ответ: Если наклонные равны ($CA = CB$), то их проекции также равны ($AH = HB$).

большей наклонной соответствует большая проекция

Пусть наклонная CA больше наклонной CB, то есть $CA > CB$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то из этого неравенства следует, что $CA^2 > CB^2$.
Снова рассмотрим выражения для квадратов проекций (1) и (2). Сравним их правые части: $CA^2 - CH^2$ и $CB^2 - CH^2$.
Поскольку уменьшаемое $CA^2$ больше уменьшаемого $CB^2$, а вычитаемое $CH^2$ в обоих случаях одинаково, то и первая разность будет больше второй: $CA^2 - CH^2 > CB^2 - CH^2$.
Следовательно, $AH^2 > HB^2$.
Так как длины проекций AH и HB — положительные числа, то из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин: $AH > HB$.
Утверждение доказано.
Ответ: Если одна наклонная больше другой ($CA > CB$), то и её проекция больше проекции другой наклонной ($AH > HB$).