Номер 176, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

176. a) Большая сторона параллелограмма равна 18 см, высоты относятся как $1:2$. Найдите периметр параллелограмма.

б) Периметр параллелограмма равен 48 см, одна из его сторон в 2 раза больше другой. Высота, опущенная на большую сторону, равна 4,5 см. Найдите площадь параллелограмма.

а)

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, опущенные на эти стороны, — $h_a$ и $h_b$ соответственно.

По условию, большая сторона равна 18 см. Пусть это будет сторона $a$, тогда $a = 18$ см. Меньшая сторона — $b$.

Высоты относятся как 1 : 2. В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая высота. Следовательно, $h_a$ (высота к большей стороне $a$) — это меньшая высота, а $h_b$ (высота к меньшей стороне $b$) — большая.

Таким образом, отношение высот можно записать как $\frac{h_a}{h_b} = \frac{1}{2}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить двумя способами:

$S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Из этого равенства следует, что стороны обратно пропорциональны высотам:

$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a}$

Из отношения высот $\frac{h_a}{h_b} = \frac{1}{2}$ следует, что $\frac{h_b}{h_a} = 2$.

Подставим известные значения $a=18$ и $\frac{h_b}{h_a} = 2$ в пропорцию:

$\frac{18}{b} = 2$

Отсюда находим меньшую сторону $b$:

$b = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь найдем периметр параллелограмма, который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:

$P = 2(18 + 9) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Ответ: 54 см.

б)

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

По условию, периметр $P = 48$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

$48 = 2(a+b)$

$a+b = \frac{48}{2} = 24$ см.

Также по условию, одна сторона в 2 раза больше другой. Пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. Тогда $a = 2b$.

Подставим это соотношение в уравнение для полупериметра:

$2b + b = 24$

$3b = 24$

$b = \frac{24}{3} = 8$ см.

Теперь найдем большую сторону $a$:

$a = 2b = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 16 см и 8 см.

Высота, опущенная на большую сторону ($a = 16$ см), равна $h_a = 4,5$ см.

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$.

Подставим известные значения:

$S = 16 \cdot 4,5 = 72$ см².

Ответ: 72 см².