Номер 173, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

173. ABCD — параллелограмм (рис. 164), $BC = 10 \text{ см}$, $CK \perp AD$, $CK = 7 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $ABD$.

Рис. 164

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны равны и параллельны. Из этого следует, что сторона $AD$ равна стороне $BC$.

Согласно условию задачи, длина стороны $BC = 10$ см. Следовательно, длина стороны $AD$ также равна 10 см:
$AD = BC = 10$ см.

Площадь треугольника $ABD$ можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В треугольнике $ABD$ возьмем за основание сторону $AD$. Тогда его высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую $AD$.

Так как в параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то расстояние между ними постоянно. Высота $CK$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AD$, и является этим расстоянием. По условию $CK = 7$ см. Следовательно, высота треугольника $ABD$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AD$, также равна 7 см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABD$:
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 35 \text{ см}^2$.

Другой способ решения:
Можно сначала найти площадь всего параллелограмма $ABCD$. Она равна произведению основания на высоту:
$S_{ABCD} = AD \cdot CK = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 70 \text{ см}^2$.
Диагональ $BD$ делит параллелограмм на два равных по площади треугольника ($ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $). Следовательно, площадь треугольника $ABD$ составляет половину площади параллелограмма:
$S_{\triangle ABD} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{70 \text{ см}^2}{2} = 35 \text{ см}^2$.

Ответ: $35 \text{ см}^2$.