Номер 169, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

169. Точки M, N, P, K — середины сторон квадрата ABCD (рис. 157).

a) Какую форму имеет желтый четырехугольник? Обоснуйте ваш ответ.

б) Какую часть составляет его площадь от площади квадрата ABCD:

1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{1}{5}$; 5) $\frac{1}{8}$?

Докажите, что ваше утверждение верно.

Рис. 157

а) Какую форму имеет желтый четырехугольник? Обоснуйте ваш ответ.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ и проведенные в нем отрезки $AP$, $BK$, $CM$ и $DN$, где $M, N, P, K$ — середины соответствующих сторон. Пусть вершины внутреннего желтого четырехугольника — это точки пересечения этих отрезков.

Фигура, образованная квадратом $ABCD$ и отрезками, обладает поворотной симметрией. Если повернуть квадрат на $90^\circ$ вокруг его центра, то вершины и стороны перейдут друг в друга ($A \to B \to C \to D \to A$). При этом середина стороны $AB$ (точка $M$) перейдет в середину стороны $BC$ (точку $N$), $N \to P$, $P \to K$ и $K \to M$.

Следовательно, при таком повороте отрезок $AP$ перейдет в $BK$, $BK$ — в $CM$, $CM$ — в $DN$, а $DN$ — в $AP$. Это означает, что вся конструкция переходит сама в себя.

Поскольку вся конструкция переходит сама в себя при повороте на $90^\circ$, то и внутренний четырехугольник, образованный пересечениями этих отрезков, также должен переходить сам в себя. Четырехугольник, который совмещается сам с собой при повороте на $90^\circ$ вокруг своего центра, является квадратом. У такого четырехугольника все стороны равны и все углы равны $90^\circ$.

Обоснование углов: Докажем, что смежные отрезки, например $AP$ и $BK$, перпендикулярны. Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DAP$. Они равны по двум катетам ($AB=DA$, $AK=DP=a/2$, где $a$ — сторона квадрата). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle ABK = \angle DAP$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle BKA + \angle KAB = 90^\circ$. Но $\angle KAB$ состоит из двух углов: $\angle KAB = \angle KAP + \angle PAB$. Это неверно. Сумма острых углов в $\triangle ABK$ это $\angle AKB + \angle ABK = 90^\circ$. Пусть $T$ — точка пересечения $AP$ и $BK$. В треугольнике $\triangle ATK$ сумма углов $\angle TAK + \angle TKA + \angle ATK = 180^\circ$. Мы знаем, что $\angle TAK = \angle DAP$, а $\angle TKA = \angle AKB$. Так как $\angle DAP = \angle ABK$, то $\angle TAK = \angle ABK$. Подставив в сумму углов $\triangle ATK$, получим: $\angle ABK + \angle AKB + \angle ATK = 180^\circ$. Поскольку $\angle ABK + \angle AKB = 90^\circ$, то $90^\circ + \angle ATK = 180^\circ$, откуда $\angle ATK = 90^\circ$. Таким образом, отрезки $AP$ и $BK$ перпендикулярны. В силу симметрии, все углы внутреннего четырехугольника прямые.

Итак, желтый четырехугольник имеет четыре прямых угла и равные стороны, следовательно, это квадрат.

Ответ: Желтый четырехугольник является квадратом.

б) Какую часть составляет его площадь от площади квадрата ABCD? Докажите, что ваше утверждение верно.

Площадь желтого квадрата составляет $1/5$ от площади квадрата $ABCD$. Докажем это с помощью метода координат.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Разместим его в системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат: $D(0,0)$, $A(0,a)$, $B(a,a)$, $C(a,0)$.

Тогда координаты середин сторон будут:

• $K$ — середина $AD$: $K(0, a/2)$
• $M$ — середина $AB$: $M(a/2, a)$
• $N$ — середина $BC$: $N(a, a/2)$
• $P$ — середина $CD$: $P(a/2, 0)$

Найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки $AP$, $BK$, $CM$, $DN$.

• Прямая $AP$: проходит через $A(0,a)$ и $P(a/2,0)$. Уравнение: $y = -2x + a$.
• Прямая $BK$: проходит через $B(a,a)$ и $K(0,a/2)$. Уравнение: $y = \frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$.
• Прямая $CM$: проходит через $C(a,0)$ и $M(a/2,a)$. Уравнение: $y = -2x + 2a$.
• Прямая $DN$: проходит через $D(0,0)$ и $N(a,a/2)$. Уравнение: $y = \frac{1}{2}x$.

Теперь найдем координаты вершин внутреннего желтого квадрата как точки пересечения этих прямых. Пусть его вершины $S, T, Q, R$.

• $S = AP \cap DN$: $-2x + a = \frac{1}{2}x \implies \frac{5}{2}x = a \implies x = \frac{2a}{5}$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} = \frac{a}{5}$. Итак, $S(\frac{2a}{5}, \frac{a}{5})$.
• $T = AP \cap BK$: $-2x + a = \frac{1}{2}x + \frac{a}{2} \implies \frac{5}{2}x = \frac{a}{2} \implies x = \frac{a}{5}$. Тогда $y = -2(\frac{a}{5}) + a = \frac{3a}{5}$. Итак, $T(\frac{a}{5}, \frac{3a}{5})$.
• $Q = BK \cap CM$: $\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} = -2x + 2a \implies \frac{5}{2}x = \frac{3a}{2} \implies x = \frac{3a}{5}$. Тогда $y = \frac{1}{2}(\frac{3a}{5}) + \frac{a}{2} = \frac{4a}{5}$. Итак, $Q(\frac{3a}{5}, \frac{4a}{5})$.
• $R = CM \cap DN$: $-2x + 2a = \frac{1}{2}x \implies \frac{5}{2}x = 2a \implies x = \frac{4a}{5}$. Тогда $y = \frac{1}{2}(\frac{4a}{5}) = \frac{2a}{5}$. Итак, $R(\frac{4a}{5}, \frac{2a}{5})$.

Теперь найдем площадь желтого квадрата $STQR$. Длина его стороны в квадрате равна, например, расстоянию между точками $S$ и $R$: $SR^2 = (\frac{4a}{5} - \frac{2a}{5})^2 + (\frac{2a}{5} - \frac{a}{5})^2 = (\frac{2a}{5})^2 + (\frac{a}{5})^2 = \frac{4a^2}{25} + \frac{a^2}{25} = \frac{5a^2}{25} = \frac{a^2}{5}$.

Площадь желтого квадрата $S_{желт.} = SR^2 = \frac{a^2}{5}$.

Площадь большого квадрата $ABCD$ равна $S_{ABCD} = a^2$.

Отношение площадей: $\frac{S_{желт.}}{S_{ABCD}} = \frac{a^2/5}{a^2} = \frac{1}{5}$.

Ответ: 4) $\frac{1}{5}$.