Номер 162, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

162. а) Периметр прямоугольника равен 22 см. Одна из сторон на 3 см больше другой. Найдите площадь прямоугольника.

б) Площадь прямоугольника равна $80 \text{ см}^2$. Одна из сторон на 11 см меньше другой. Найдите периметр прямоугольника.

а) Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$ см. По условию, другая сторона на 3 см больше, значит, она равна $(a+3)$ см.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его стороны.
Подставим известные значения в формулу:
$22 = 2(a + (a+3))$
$22 = 2(2a + 3)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$11 = 2a + 3$
$11 - 3 = 2a$
$8 = 2a$
$a = 4$
Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 4 см.
Вторая сторона равна $a+3 = 4+3 = 7$ см.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
$S = 4 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 28 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь прямоугольника равна 28 см².

б) Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$ см. По условию, другая сторона на 11 см меньше, значит, она равна $(a-11)$ см.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
Подставим известные значения в формулу:
$80 = a \cdot (a-11)$
$80 = a^2 - 11a$
$a^2 - 11a - 80 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441 = 21^2$
Найдем корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 21}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$a_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 21}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $a = 16$.
Итак, одна сторона прямоугольника равна 16 см.
Вторая сторона равна $a-11 = 16-11 = 5$ см.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
$P = 2(16 \text{ см} + 5 \text{ см}) = 2 \cdot 21 \text{ см} = 42 \text{ см}$.
Ответ: периметр прямоугольника равен 42 см.