Номер 160, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

160. В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $K$ (рис. 153), $\angle BKD = 135^{\circ}$, $KD = 4$ см, $CD = 5$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Рис. 153

Для вычисления площади прямоугольника $ABCD$ необходимо найти произведение длин его сторон $AD$ и $CD$. По условию задачи, длина стороны $CD = 5$ см. Найдем длину стороны $AD$.

Сторона $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AK + KD$. Длина отрезка $KD$ известна и равна 4 см. Следовательно, задача сводится к нахождению длины отрезка $AK$.

Проведем из точки $K$ отрезок $KM$ перпендикулярно стороне $AD$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $M$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а смежные стороны, например $AB$ и $AD$, перпендикулярны.

Так как $KM \perp AD$ и $AB \perp AD$, то отрезки $KM$ и $AB$ параллельны. Также отрезки $AK$ и $BM$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$. Таким образом, четырехугольник $ABMK$ является параллелограммом. Поскольку угол $\angle A = 90^\circ$, $ABMK$ — прямоугольник. Из этого следует, что $KM = AB$ и $AK = BM$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD = 5$ см. Следовательно, $KM = 5$ см.

Рассмотрим заданный угол $\angle BKD = 135^\circ$. Мы провели $KM \perp AD$, значит, угол $\angle MKD = 90^\circ$. Угол $\angle BKD$ можно представить как сумму углов $\angle BKM$ и $\angle MKD$. Найдем величину угла $\angle BKM$:

$\angle BKM = \angle BKD - \angle MKD = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BKM$. Так как $KM \perp BC$ (поскольку $KM \perp AD$ и $AD \parallel BC$), то угол $\angle KMB = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle BKM$ — прямоугольный. Мы уже знаем, что один из его острых углов $\angle BKM = 45^\circ$. Это значит, что $\triangle BKM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $BM = KM$.

Поскольку $KM = 5$ см, то и $BM = 5$ см. Так как $AK = BM$, то $AK = 5$ см.

Теперь мы можем найти полную длину стороны $AD$:

$AD = AK + KD = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9$ см.

Наконец, вычислим площадь прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = AD \cdot CD = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45$ см².

Ответ: 45 см².