Номер 172, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

172. a) Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $60 \, \text{см}^2$. Высота $BK$, проведенная к стороне $CD$, равна $10 \, \text{см}$, $AD = 12 \, \text{см}$. Найдите периметр параллелограмма.

б) Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ к стороне $CD$ проведена высота $BK$, к стороне $AD$ — высота $BH$. Найдите периметр параллелограмма, если $BH = 5 \, \text{см}$, $BK = 7 \, \text{см}$, $AD = 14 \, \text{см}$.

а)

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. По условию задачи, площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S = 60 \text{ см}^2$. Высота $BK$, проведенная к стороне $CD$, равна $BK = 10 \text{ см}$.

Используя формулу площади, мы можем найти длину стороны $CD$:
$S = CD \cdot BK$
$60 = CD \cdot 10$
$CD = \frac{60}{10} = 6 \text{ см}$.

Периметр параллелограмма $P$ — это сумма длин всех его сторон. В параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Формула для периметра: $P = 2(AD + CD)$.
Нам дано, что $AD = 12$ см, и мы нашли, что $CD = 6$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:
$P = 2 \cdot (12 + 6) = 2 \cdot 18 = 36 \text{ см}$.

Ответ: 36 см.

б)

Площадь параллелограмма можно вычислить через любую из его сторон и соответствующую ей высоту. В нашем случае площадь $S$ можно выразить двумя способами:
1. Через сторону $AD$ и высоту $BH$, проведенную к ней: $S = AD \cdot BH$.
2. Через сторону $CD$ и высоту $BK$, проведенную к ней: $S = CD \cdot BK$.

Поскольку площадь параллелограмма одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:
$AD \cdot BH = CD \cdot BK$.

Нам известны значения: $AD = 14 \text{ см}$, $BH = 5 \text{ см}$, $BK = 7 \text{ см}$. Подставим их в равенство, чтобы найти длину стороны $CD$:
$14 \cdot 5 = CD \cdot 7$
$70 = 7 \cdot CD$
$CD = \frac{70}{7} = 10 \text{ см}$.

Теперь, зная длины двух смежных сторон ($AD = 14$ см и $CD = 10$ см), мы можем найти периметр параллелограмма $P$ по формуле $P = 2(AD + CD)$:
$P = 2 \cdot (14 + 10) = 2 \cdot 24 = 48 \text{ см}$.

Ответ: 48 см.