Номер 4, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

4. На координатной плоскости изобразите график функции $y = 2x + 4$. Постройте прямую, симметричную этому графику относительно начала координат. Найдите функцию вида $y = kx + b$, которая соответствует построенной прямой.

1. Построение графика функции $y = 2x + 4$

Функция $y = 2x + 4$ является линейной, её график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек. Наиболее удобными для нахождения являются точки пересечения с осями координат.

• Найдем точку пересечения с осью ординат ($OY$), подставив $x = 0$ в уравнение: $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем первую точку: A(0, 4).
• Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($OX$), подставив $y = 0$ в уравнение: $0 = 2x + 4 \implies 2x = -4 \implies x = -2$. Получаем вторую точку: B(-2, 0).

Чтобы изобразить график на координатной плоскости, нужно отметить точки A(0, 4) и B(-2, 0) и провести через них прямую.

2. Построение прямой, симметричной относительно начала координат

Симметрия относительно начала координат $(0, 0)$ преобразует каждую точку $(x, y)$ в точку $(-x, -y)$. Чтобы построить прямую, симметричную графику $y = 2x + 4$, найдем точки, симметричные точкам A и B, найденным на предыдущем шаге.

• Для точки A(0, 4) симметричной будет точка A' с координатами $(-0, -4)$, то есть A'(0, -4).
• Для точки B(-2, 0) симметричной будет точка B' с координатами $(-(-2), -0)$, то есть B'(2, 0).

Искомая симметричная прямая проходит через точки A'(0, -4) и B'(2, 0).

3. Нахождение функции вида $y = kx + b$ для построенной прямой

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Нам нужно найти коэффициенты $k$ и $b$ для прямой, проходящей через точки A'(0, -4) и B'(2, 0).

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $OY$. Из координат точки A'(0, -4) сразу видно, что $b = -4$.

Коэффициент $k$ — это угловой коэффициент, который можно найти по формуле, используя координаты двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A'(0, -4) и B'(2, 0):

$k = \frac{0 - (-4)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь подставим найденные значения $k=2$ и $b=-4$ в общее уравнение прямой:

$y = 2x - 4$.

Проверка.
Преобразование симметрии относительно начала координат для функции $y=f(x)$ заключается в замене $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$ в её уравнении.
Исходное уравнение: $y = 2x + 4$.
Выполняем замену: $-y = 2(-x) + 4$.
Упрощаем: $-y = -2x + 4$.
Умножаем обе части на -1, чтобы выразить $y$: $y = 2x - 4$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $y = 2x - 4$.