Номер 148, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

148. ABCD — равнобедренная трапеция (рис. 130). По данным на рисунке найдите угол $ \angle CDB $.

Рис. 130

Поскольку по условию $ABCD$ — равнобедренная трапеция, её боковые стороны равны ($AB=CD$), а также равны её диагонали ($AC=BD$).

Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. По данным на рисунке $\angle BCA = 43^\circ$, следовательно, $\angle DAC = 43^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В этих треугольниках:

• $AB = DC$ (как боковые стороны равнобедренной трапеции),
• $AC = BD$ (как диагонали равнобедренной трапеции),
• $AD$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle ADB = \angle DAC$. Так как мы уже установили, что $\angle DAC = 43^\circ$, то и $\angle ADB = 43^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Мы знаем два угла в этом треугольнике: $\angle ABD = 65^\circ$ (из условия) и $\angle ADB = 43^\circ$. Можем найти третий угол, $\angle DAB$:

$\angle DAB = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^\circ - (65^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при основании $AD$ $\angle CDA$ равен углу $\angle DAB$.

$\angle CDA = \angle DAB = 72^\circ$.

Угол $\angle CDA$ состоит из двух частей: искомого угла $\angle CDB$ и угла $\angle ADB$.

$\angle CDA = \angle CDB + \angle ADB$.

Подставим известные нам значения в это равенство:

$72^\circ = \angle CDB + 43^\circ$.

Отсюда находим искомый угол $\angle CDB$:

$\angle CDB = 72^\circ - 43^\circ = 29^\circ$.

Ответ: $29^\circ$.