Номер 143, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

143. На рисунках 129, а)—в) дана равнобедренная трапеция MNKP. По данным на рисунках найдите углы, отмеченные знаками вопроса.

a) N
K
M
P
$73^\circ$
$\text{?}$
$\text{?}$
$\text{?}$

б) N
K
M
P
$42^\circ$
$\text{?}$
$\text{?}$
$\text{?}$
$\text{?}$

в) N
K
M
P
14
7
$90^\circ$
$\text{?}$
$\text{?}$
$\text{?}$
$\text{?}$

Рис. 129

а)

Трапеция $MNKP$ — равнобедренная. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет $180^\circ$.
1. Углы при нижнем основании $MP$ равны. Так как $\angle M = 73^\circ$, то и $\angle P = \angle M = 73^\circ$.
2. Углы $\angle M$ и $\angle N$ прилежат к боковой стороне $MN$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$.
3. Углы при верхнем основании $NK$ равны. Следовательно, $\angle K = \angle N = 107^\circ$.

Ответ: $\angle P = 73^\circ$, $\angle N = 107^\circ$, $\angle K = 107^\circ$.

б)

В трапеции $MNKP$ основания $NK$ и $MP$ параллельны ($NK \parallel MP$).
1. Углы $\angle NKM$ и $\angle KMP$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $NK$ и $MP$ и секущей $MK$. Поэтому эти углы равны.
$\angle KMP = \angle NKM = 42^\circ$.
2. Из рисунка видно, что диагональ $MK$ делит угол $\angle NMP$ на два равных угла (они отмечены одинаковыми дугами), то есть $MK$ — биссектриса угла $\angle NMP$.
Значит, $\angle NMK = \angle KMP = 42^\circ$.
3. Угол $\angle NMP$ равен сумме его частей:
$\angle NMP = \angle NMK + \angle KMP = 42^\circ + 42^\circ = 84^\circ$.
4. Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $MP$ равны: $\angle P = \angle NMP = 84^\circ$.
5. Сумма углов при боковой стороне $KP$ равна $180^\circ$: $\angle P + \angle K = 180^\circ$.
Отсюда полный угол $\angle K$ (или $\angle NKP$) равен $180^\circ - \angle P = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
6. Угол $\angle N$ равен углу $\angle K$, так как это углы при одном основании: $\angle N = 96^\circ$.
7. Чтобы найти угол $\angle PKM$, вычтем из полного угла $\angle K$ его известную часть $\angle NKM$:
$\angle PKM = \angle NKP - \angle NKM = 96^\circ - 42^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $\angle N = 96^\circ$, $\angle P = 84^\circ$, $\angle KMP = 42^\circ$, $\angle PKM = 54^\circ$.

в)

Дана равнобедренная трапеция $MNKP$ с боковой стороной $KP=7$, следовательно, $MN=7$. Также дано основание $NK=14$ и указано, что диагональ $MK$ перпендикулярна боковой стороне $MN$, то есть $\angle KMN = 90^\circ$.
1. Рассмотрим $\triangle KMN$. Он является прямоугольным ($\angle KMN=90^\circ$). В этом треугольнике $MN$ и $MK$ — катеты, а $NK$ — гипотенуза. Мы знаем длину катета $MN=7$ и гипотенузы $NK=14$.
2. Найдем углы $\triangle KMN$. Синус угла $\angle NKM$ равен отношению противолежащего катета $MN$ к гипотенузе $NK$:
$\sin(\angle NKM) = \frac{MN}{NK} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Угол, синус которого равен $1/2$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle NKM = 30^\circ$.
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle MNK = 90^\circ - \angle NKM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
4. Мы нашли один из углов трапеции: $\angle N = \angle MNK = 60^\circ$. Так как трапеция равнобедренная, угол $\angle K = \angle N = 60^\circ$.
5. Углы при другом основании $MP$ равны и в сумме с прилежащим углом при боковой стороне дают $180^\circ$:
$\angle M = \angle P = 180^\circ - \angle N = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
6. Теперь найдем части углов $M$ и $K$, на которые их делит диагональ $MK$.
Угол $\angle KMP$ — это часть угла $\angle M$.
$\angle KMP = \angle M - \angle KMN = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.
Угол $\angle PKM$ — это часть угла $\angle K$.
$\angle PKM = \angle K - \angle NKM = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $\angle N = 60^\circ$, $\angle P = 120^\circ$, $\angle KMP = 30^\circ$, $\angle PKM = 30^\circ$.