Номер 138, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

138. Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Углы при большем основании равны $40^{\circ}$ и $50^{\circ}$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания AD и BC параллельны. По условию, большее основание $AD = 16$ см, а меньшее основание $BC = 10$ см. Углы при большем основании равны $\angle A = 40^\circ$ и $\angle D = 50^\circ$.

Продолжим боковые стороны AB и CD до их пересечения в точке P. В результате образуется треугольник APD.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине P в треугольнике APD:

$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник APD является прямоугольным, где AD — гипотенуза, а P — вершина прямого угла.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольник BPC подобен треугольнику APD по двум углам ($\angle PBC = \angle PAD$ и $\angle PCB = \angle PDA$ как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущих AP и DP соответственно). Из подобия следует, что $\angle BPC = \angle APD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник BPC также является прямоугольным с гипотенузой BC.

Пусть M — середина меньшего основания BC, а N — середина большего основания AD. Нам необходимо найти длину отрезка MN, соединяющего середины оснований.

В прямоугольном треугольнике APD отрезок PN является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе AD. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы.

$PN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике BPC отрезок PM является медианой, проведенной к гипотенузе BC.

$PM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Поскольку M и N — середины параллельных сторон BC и AD, а треугольники APD и BPC подобны с центром подобия в точке P, то точки P, M и N лежат на одной прямой. Отрезок MN является частью прямой PN.

Следовательно, длину искомого отрезка MN можно найти как разность длин отрезков PN и PM:

$MN = PN - PM = 8 - 5 = 3$ см.

Ответ: 3 см.