Номер 132, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

132. a) ABCD — трапеция (рис. 121, a), $CK \parallel AB$, $AB = 10$ см, $BC = 6$ см, $CD = 12$ см, $AD = 20$ см. Найдите $P_{KCD}$.

б) ABCD — трапеция (рис. 121, б), $CK \parallel BD$, $AD = 17$ см, $BC = 7$ см, $AC = 16$ см, $BD = 12$ см. Найдите $P_{ACK}$.

Рис. 121

а) Рассмотрим четырехугольник $ABCK$.
По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ лежит на отрезке $AD$, то $BC \parallel AK$.
По условию задачи также дано, что $CK \parallel AB$.
Поскольку у четырехугольника $ABCK$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.
Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Следовательно:
$CK = AB = 10$ см.
$AK = BC = 6$ см.
Теперь найдем длину стороны $KD$. Так как $K$ лежит между $A$ и $D$, то $AD = AK + KD$.
$KD = AD - AK = 20 - 6 = 14$ см.
Периметр треугольника $KCD$ равен сумме длин его сторон $KC$, $CD$ и $KD$.
$P_{KCD} = KC + CD + KD = 10 + 12 + 14 = 36$ см.
Ответ: 36 см.

б) Рассмотрим четырехугольник $BCKD$.
Так как $ABCD$ — трапеция, то $BC \parallel AD$. Точка $K$ лежит на продолжении прямой $AD$, значит $BC \parallel DK$.
По условию задачи дано, что $CK \parallel BD$.
Поскольку у четырехугольника $BCKD$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.
Из свойства равенства противолежащих сторон параллелограмма следует:
$CK = BD = 12$ см.
$DK = BC = 7$ см.
Найдем длину стороны $AK$. Сторона $AK$ состоит из отрезков $AD$ и $DK$.
$AK = AD + DK = 17 + 7 = 24$ см.
Периметр треугольника $ACK$ равен сумме длин его сторон $AC$, $CK$ и $AK$.
$P_{ACK} = AC + CK + AK = 16 + 12 + 24 = 52$ см.
Ответ: 52 см.