Номер 128, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

128. На рисунке 120 отрезок $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$. Найдите:

а) основание $AD$, если $BC = 24$ см, $MK = 30$ см;

б) сумму периметров четырехугольников $MBCK$ и $AMKD$, если $AD = 20$ см, $AB = 16$ см, $BC = 14$ см, $CD = 18$ см.

Рис. 120

а) основание AD, если BC = 24 см, MK = 30 см;
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Формула для средней линии $MK$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выглядит так: $MK = \frac{AD + BC}{2}$.
Подставим известные значения в формулу: $BC = 24$ см, $MK = 30$ см.
$30 = \frac{AD + 24}{2}$.
Чтобы найти $AD$, выразим его из формулы:
$2 \cdot MK = AD + BC$
$AD = 2 \cdot MK - BC$
$AD = 2 \cdot 30 - 24 = 60 - 24 = 36$ см.
Ответ: 36 см.

б) сумму периметров четырехугольников MBCK и AMKD, если AD = 20 см, AB = 16 см, BC = 14 см, CD = 18 см.
Сумма периметров четырехугольников $P_{MBCK}$ и $P_{AMKD}$ равна сумме длин всех их сторон:
$P_{MBCK} + P_{AMKD} = (MB + BC + CK + KM) + (AM + MK + KD + DA)$.
Поскольку $MK$ является средней линией, точки $M$ и $K$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Это значит, что:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
$CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Длина средней линии $MK$ равна полусумме оснований:
$MK = \frac{AD + BC}{2} = \frac{20 + 14}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.
Теперь найдем сумму периметров. Заметим, что отрезок $MK$ является общей стороной для обоих четырехугольников, поэтому его длина учитывается дважды. Сумма периметров также включает все стороны исходной трапеции $ABCD$.
Сумма = $(AM + MB) + (CK + KD) + BC + AD + 2 \cdot MK$
Сумма = $AB + CD + BC + AD + 2 \cdot MK$
Это равно периметру трапеции $ABCD$ плюс удвоенная длина средней линии.
Периметр $ABCD = AB + BC + CD + DA = 16 + 14 + 18 + 20 = 68$ см.
Сумма периметров = $P_{ABCD} + 2 \cdot MK = 68 + 2 \cdot 17 = 68 + 34 = 102$ см.
Ответ: 102 см.