Номер 121, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

121. В параллелограмме $ABCD$ (рис. 112) точка $M$ — середина стороны $CD$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$, $AK = 32$ см. Найдите длину отрезка $KM$.

Рис. 112

Рассмотрим треугольники $ΔAKB$ и $ΔMKD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Так как точка $M$ лежит на стороне $CD$, то $AB \parallel MD$.

1. Углы $\angle KAB$ и $\angle KMD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AM$, следовательно, $\angle KAB = \angle KMD$.

2. Углы $\angle KBA$ и $\angle KDM$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$, следовательно, $\angle KBA = \angle KDM$.

Таким образом, треугольники $ΔAKB$ и $ΔMKD$ подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$$ \frac{AK}{MK} = \frac{AB}{MD} $$

По условию, точка $M$ — середина стороны $CD$, значит, $MD = \frac{1}{2}CD$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD$.

Найдем отношение сторон $AB$ и $MD$:

$$ \frac{AB}{MD} = \frac{CD}{\frac{1}{2}CD} = 2 $$

Теперь подставим это значение в пропорцию для сторон треугольников:

$$ \frac{AK}{MK} = 2 $$

По условию задачи $AK = 32$ см. Найдем длину отрезка $KM$ (то же, что и $MK$):

$$ \frac{32}{KM} = 2 $$

$$ KM = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} $$

Ответ: 16 см.